大物知識點複習框架——波動

平面簡諧波的波函數（波動方程）

1. 一些基本公式與概念
   (1) $u=\frac{\lambda}{T}(波速=\frac{波長}{週期})$
   (2) $\frac{w}{u}=\frac{2\pi}{\lambda}$
   (3) 能流密度(波強)：$\vec{I}$$=\frac{1}{2}\rho w^2$ $A^2$ $\vec{u}$
   (4) 波長：波在一個振動週期內傳播的距離（半波損失中畫反射波會用到）

2. 波動方程：$y=Acos[w(t-\frac{x}{u})+\phi]$，是關於t和x的二元函數

3. 波動方程中x正負代表波的傳播方向：左加右減

4. 求解波動方程的步驟：
   (1) 一點：寫出波源處的振動方程 ，$y=Acos(wt+\phi)$
   (2) 一時差：求出滯後點與波源點間的時差 ，$\Delta t=\frac{大標-小標}{u}$
   (3) 一後前：用滯後點的時刻t表示出波源點的時刻 ，$t-\Delta t$ 替換波源點振動方程的$t$

5. 波動方程與振動方程轉換：代入相對於波源的座標x到波動方程中，就變成了僅關於t的一元函數，即振動方程

波的能量

1. 波的動能與勢能始終相等 $E_總=E_k+E_p=2E_k=2E_p$
2. 在波的最大振幅處：$E_k=E_p=0$
3. 在波的平衡位置處(振幅=0)：$E_k$與$E_p$取得最大值
4. 與波動方程的週期相比，能量週期減半
5. 關於波的振動方向和能量傳遞模型見筆記

波的干涉

1. 衍射現象 (越過障礙)
2. 惠更斯原理 (波面：子波面的包絡面)
3. 波的傳播的獨立性原理 (幾列波交匯後，各列波不會發生任何變化)
4. 波的疊加原理 (幾列波交匯後，交匯點的振動會進行合成)
5. 波的干涉與干涉條件 (波疊加後出現的振動加強or減弱的分佈，3點條件)
6. 應用：
   (1) $\Delta \phi=(\phi_2 - \phi_1)-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)$
   (2) $(\phi_2 - \phi_1)$ 爲兩列波源的初相位差
   (3) $(r_2-r_1)$ 爲兩列波源與交匯點的距離差
   (4) 當$\Delta\phi=2k\pi$ ，即$\pi$的偶數倍， 干涉加強 ， $A_合=A_1+A_2$
   (5) 當$\Delta \phi=(2k+1) \pi$，即$\pi$的奇數倍， 干涉減弱 ，$A_合=|A_1-A_2|$

駐波

1. 概念：同一直線、振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波，疊加後稱爲一種振動狀態，稱爲駐波

2. 記住駐波的波動圖，見筆記

3. 駐波波動圖的特點：
   (1) 相鄰波節距離=$\frac{\lambda}{2}$=相鄰波腹距離
   (2) 同一個波節的兩端，質點的振動方向相反（相位相差$\pi$）
   (3) 波節的位置：$(2k+1)\frac{\lambda}{4}$， 即$\frac{\lambda}{4}$的奇數倍
   (4) 波腹的位置：$k\frac{\lambda}{2}$， 即$\frac{\lambda}{2}$的整數倍

4. 駐波方程：$y=$[$2Acos\frac{2\pi}{\lambda}x]$$coswt$

5. 駐波的特點：
   (1) 振幅與x座標有關
   (2) 波形不傳播
   (3) 相位不傳播
   (4) 能量不傳播

半波損失

1. 場景見筆記（琴絃與牆面）

2. 口訣：疏密相間看反射，半波損失相位變

3. 應用：
   (1) 一列波從波疏介質傳播到波密介質，畫出從波密介質反射回來的反射波形圖
   - 步驟：

   1. 先延長原圖
   2. 截去半個波長的圖
   3. 把線頭移到反射點
   4. 翻轉圖形後延長到原點O

   (2) 求半波損失後的反射波方程：與求波動方程的方法差不多，需要注意的是因爲經過了半波損失，所以反射點的振動方程要變相位（加上$\pi$）

多普勒效應

1. 生活中的現象：救護車(波源$v_s$)靠近你(觀察者$v_o$)時，音調↑，遠離後音調↓
2. 公式：
   (1) 音調↑=$v'$(波頻↑)=$\frac{u+v_o}{u-v_s}v$，此時聲源與觀察者相向運動
   (2) 音調↓=$v'$(波頻↓)=$\frac{u-v_o}{u+v_s}v$，此時聲源與觀察者相背運動

注意：

• 觀察者向波源運動爲$+v_o$，遠離爲$-v_o$
• 波源向觀察者運動爲$-v_s$，遠離爲$+v_s$