數據結構與算法分析（十一）跳錶

1. 跳錶（Skip list）：
2. 它是一種各方面性能都比較優秀的動態數據結構，可以支持快速的插入、刪除、查找操作，寫起來也不復雜，甚至可以替代紅黑樹（Red-black tree）
3. Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳錶來實現的。
4. 對於一個單鏈表來講，即便鏈表中存儲的數據是有序的，如果我們要想在其中查找某個數據，也只能從頭到尾遍歷鏈表。這樣查找效率就會很低，時間複雜度會很高，是 O(n)。
5. 鏈表加多級索引的結構，就是跳錶。
7. 每兩個結點會抽出一個結點作爲上一級索引的結點，那第一級索引的結點個數大約就是 n/2，第二級索引的結點個數大約就是 n/4，第三級索引的結點個數大約就是 n/8，依次類推
8. 也就是說，第 k 級索引的結點個數是第 k-1 級索引的結點個數的 1/2，那第 k級索引結點的個數就是 n/(2k)。

9. 什麼是跳錶？

10. 爲一個值有序的鏈表建立多級索引，比如每2個節點提取一個節點到上一級，我們把抽出來的那一級叫做索引或索引層。如下圖所示，其中down表示down指針，指向下一級節點。以此類推，對於節點數爲n的鏈表，大約可以建立log2n-1級索引。像這種爲鏈表建立多級索引的數據結構就稱爲跳錶。

11. 跳錶的時間複雜度？
    1.計算跳錶的高度
    如果鏈表有n個節點，每2個節點抽取抽出一個節點作爲上一級索引的節點，那第1級索引的節點個數大約是n/2，第2級索引的節點個數大約是n/4，依次類推，第k級索引的節點個數就是n/(2^k)。假設索引有h級別，最高級的索引有2個節點，則有n/(2^h)=2，得出h=log2n-1，包含原始鏈表這一層，整個跳錶的高度就是log2n。
    2.計算跳錶的時間複雜度
    假設我們在跳錶中查詢某個數據的時候，如果每一層都遍歷m個節點，那在跳錶中查詢一個數據的時間複雜度就是O(m*logn)。那這個m是多少呢？如下圖所示，假設我們要查找的數據是x，在第k級索引中，我們遍歷到y節點之後，發現x大於y，小於後面的節點z，所以我們通過y的down指針，從第k級下降到第k-1級索引。在第k-1級索引中，y和z之間只有3個節點（包含y和z），所以，我們在k-1級索引中最多隻需要遍歷3個節點，以此類推，每一級索引都最多隻需要遍歷3個節點。所以m=3。因此在跳錶中查詢某個數據的時間複雜度就是O(logn)。

12. 跳錶的空間複雜度及如何優化？
    1.計算索引的節點總數
    如果鏈表有n個節點，每2個節點抽取抽出一個節點作爲上一級索引的節點，那每一級索引的節點數分別爲：n/2，n/4，n/8，…，8，4，2，等比數列求和n-1，所以跳錶的空間複雜度爲O(n)。
    2.如何優化時間複雜度
    如果鏈表有n個節點，每3或5個節點抽取抽出一個節點作爲上一級索引的節點，那每一級索引的節點數分別爲（以3爲例）：n/3，n/9，n/27，…，27，9，3，1，等比數列求和n/2，所以跳錶的空間複雜度爲O(n)，和每2個節點抽取一次相比，時間複雜度要低不少呢。

13. 高效的動態插入和刪除？
    跳錶本質上就是鏈表，所以僅插作，插入和刪除操時間複雜度就爲O(1)，但在實際情況中，要插入或刪除某個節點，需要先查找到指定位置，而這個查找操作比較費時，但在跳錶中這個查找操作的時間複雜度是O(logn)，所以，跳錶的插入和刪除操作的是時間複雜度也是O(logn)。

14. 跳錶索引動態更新？
    當往跳錶中插入數據的時候，可以選擇同時將這個數據插入到部分索引層中，那麼如何選擇這個索引層呢？可以通過隨機函數來決定將這個節點插入到哪幾級索引中，比如隨機函數生成了值K，那就可以把這個節點添加到第1級到第K級索引中。