《算法》筆記 14 - 單詞查找樹

• R向單詞查找樹
  • 數據結構
  • 查找
  • 插入
  • 查找所有鍵
  • 通配符匹配
  • 最長前綴
  • 刪除
  • R向單詞查找樹的性質
• 三向單詞查找樹
  • 三向單詞查找樹的性質

同字符串的排序一樣，利用字符串的性質開發的查找算法也比通用的算法更有效，這些算法可以用於在以字符串作爲被查找鍵的場合。這類算法在面對巨量的數據時，仍然可以取得這樣的性能：查找命中所需的時間與被查找的鍵的長度成正比；而查找未命中時只需檢查若干個字符。這樣的性能是相當驚人的，也是算法研究的最高成就之一，這些算法成了建成現在能夠便捷、快速地訪問海量信息所依賴的基礎設施的重要因素。

R向單詞查找樹

數據結構

單詞查找樹(Trie)是用於字符串鍵查找的數據結構。與之前的查找樹類似，它也是由鏈接的結點所組成的數據結構，這些鏈接可能爲空，也可能指向其他結點。
結點的數據結構爲：

private static class Node {
    private Object val;
    private Node[] next = new Node[R];
}

每個節點都只有一個或0個指向它的結點（父結點），只有根結點不會有父結點。每個節點都含有R條鏈接，R爲字母表的大小，如果字符都由26個小寫英文字母構成，則R爲26；如果字符屬於ASCII字符集，則R=128；DNA研究中用4個字母表示4個鹼基，R=4。
R條鏈接對應可能出現的字符，這其中會有大量的空鏈接，鍵是由從根節點到含有非空值的結點的路徑所隱式表示的。每個結點也含有一個相應的值，可以是空也可以是符號表中的某個鍵所關聯的值。值爲空的結點在符號表中沒有對應的鍵，它們的存在是爲了簡化單詞查找樹中的查找操作，每個鍵所關聯的值保存在給定鍵的最後一個字母所對應的結點中。
也將基於含有R個字符的字母表的單詞查找樹稱爲R向單詞查找樹。

查找

在單詞查找樹中查找給定字符串鍵所對應的值時，是以被查找的鍵中的字符爲導向的。單詞查找樹中的每個結點都包含了下一個可能出現的所有字符的鏈接。從根結點開始，首先經過的是鍵的首字母所對應的鏈接，在下一個結點沿着第二個字符所對應的鏈接繼續前進，以此類推，直到找到鍵的最後一個字母所指向的結點，或者遇到了一條空鏈接。

• 如果鍵的尾字符所對應的結點中的值非空，則查找命中，鍵所對應的值就是鍵的尾字符中所存儲的值；
• 如果鍵的尾字符所對應的結點中的值爲空，或者查找的過程中遇到了空鏈接，則查找未命中。

public Value get(String key) {
    Node x = get(root, key, 0);
    if (x == null)
        return null;
    return (Value) x.val;
}

private Node get(Node x, String key, int d) {
    if (x == null)
        return null;
    if (d == key.length())
        return x;
    char c = key.charAt(d);
    return get(x.next[c], key, d + 1);
}

插入

插入的時候，也需要先進行一次查找

• 如果在到達鍵的尾字符之前就遇到了一個空鏈接，這種情況下單詞查找樹中不存在與鍵的尾字符對應的結點，因此需要爲鍵中還未被檢查的每個字符創建一個對應的結點，並將鍵的值保存到最後一個字符的結點中；
• 如果在遇到空鏈接之前就到達了鍵的尾字符，則將該結點的值設爲鍵所對應的值。

public void put(String key, Value val) {
    root = put(root, key, val, 0);
}

public Node put(Node x, String key, Value val, int d) {
    if (x == null)
        x = new Node();
    if (d == key.length()) {
        x.val = val;
        return x;
    }

    char c = key.charAt(d);
    x.next[c] = put(x.next[c], key, val, d + 1);
    return x;
}

查找所有鍵

單詞查找樹中的字符是被隱式地表示的，查找的時候需要顯式地將它們表示出來，並加入到隊列中。查找基於一個叫做collect的方法，它的參數中包含了一個字符串，用來保存從根結點出發的路徑上的一系列字符。每當在collect()調用中訪問一個結點時，方法的第一個參數就是這個結點，第二個參數是從根節點到這個結點的路徑上的所有字符。如果結點的值非空，就將和它相關聯的字符串加入隊列中，然後遞歸地訪問它的鏈接數組所指向的所有可能的字符結點。在每次調用collect之前，都將鏈接對應的字符附加到當前鍵的末尾作爲參數。要實現keys()方法，可以用空字符作爲參數調用keysWithPrefix()方法。要實現keysWithPrefix(),則可以先調用get()方法找出給定前綴所對應的單詞查找子樹，再使用collect()。

public Iterable<String> keys() {
    return keysWithPrefix("");
}

public Iterable<String> keysWithPrefix(String pre) {
    Queue<String> q = new Queue<String>();
    collect(get(root, pre, 0), pre, q);
    return q;
}

private void collect(Node x, String pre, Queue<String> q) {
    if (x == null)
        return;
    if (x.val != null)
        q.enqueue(pre);
    for (char c = 0; c < R; c++) {
        collect(x.next[c], pre + c, q);
    }
}

通配符匹配

通配符匹配的過程類似keysWithPrefix，但需要爲collect添加一個用於指定匹配模式的參數。模式中用’.'來表示通配符，如果模式中含有通配符，就需要用遞歸調用處理所有的鏈接，否則就只需要處理模式中指定字符的鏈接即可。

public Iterable<String> keysThatMatch(String pat) {
    Queue<String> q = new Queue<String>();
    collect(root, "", pat, q);
    return q;
}

private void collect(Node x, String pre, String pat, Queue<String> q) {
    int d = pre.length();
    if (x == null)
        return;
    if (d == pat.length() && x.val != null)
        q.enqueue(pre);
    if (d == pat.length())
        return;
    char next = pat.charAt(d);
    for (char c = 0; c < R; c++) {
        if (next == '.' || next == c)
            collect(x.next[c], pre + c, pat, q);
    }
}

最長前綴

longestPrefixOf方法會找出與給定字符串匹配的最長前綴。比如對於鍵by,she, shells，longestPrefixOf(“shell”)的結果爲she。要找到最長前綴，需要一個類似於get的遞歸方法來記錄查找路徑上所找到的最長鍵的長度，並在遇到值非空的結點時更新它，然後在被查找的字符串結束或者遇到空鏈接時終止查找。

public String longestPrefixOf(String s) {
    int length = search(root, s, 0, 0);
    return s.substring(0, length);
}

public int search(Node x, String s, int d, int length) {
    if (x == null)
        return length;
    if (x.val != null)
        length = d;
    if (d == s.length())
        return length;
    char c = s.charAt(d);
    return search(x.next[c], s, d + 1, length);
}

刪除

要從單詞查找樹中刪除一個鍵值對，首先需要找到鍵所對應的結點並將它的值設爲空。然後分兩種情況：

• 如果這個結點還含有一個指向某個子結點的非空鏈接，就不需要在進行別的操作；
• 如果這個結點的所有鏈接都爲空，那馬就需要從樹中刪除這個結點；如果刪除這個結點後，使得它的父結點的所有鏈接也都成了空，就要繼續刪除它的父結點，依次類推。

public void delete(String key) {
    root = delete(root, key, 0);
}

private Node delete(Node x, String key, int d) {
    if (x == null)
        return null;
    if (d == key.length())
        x.val = null;
    else {
        char c = key.charAt(d);
        x.next[c] = delete(x.next[c], key, d + 1);
    }

    if (x.val != null)
        return x;
    for (char c = 0; c < R; c++)
        if (x.next[c] != null)
            return x;
    return null;
}

R向單詞查找樹的性質

單詞查找樹的鏈接結構和鍵的插入或刪除順序無關，對於任意給定的一組鍵，它們的單詞查找樹都是唯一的，這與之前所有的其它查找樹都不相同。

在單詞查找樹中查找或插入一個鍵時，訪問數組的次數最多爲鍵的長度加1，因爲get()和put()都使用了一個指示字符位置的參數d，它的初始值爲0，每次遞歸都會加1，當長度等於鍵的長度時遞歸停止，此時訪問了數組d+1，如果查找未命中，訪問次數會更少。這說明在單詞查找樹中查找一個鍵所需的時間與樹的大小無關，只與鍵的長度有關。

關於單詞查找樹佔用的空間，與樹中的鏈接總數有關。設w爲鍵的平均長度，R爲字符集的大小，N爲鍵的總數，則一顆單詞查找樹中的鏈接總數在RN到RNw之間。

• 如果每個鍵的首字母都不相同，那麼每個鍵中的每個字母都有一個結點，一個鍵含有Rw個鏈接，共N個鍵，含有RNw個鏈接；
• 如果鍵的首字母都相同，且都處於一個分支，那麼樹將只含有這一條分支，共RN個鏈接。

有一些經驗性的規律：當所有鍵都較短時，鏈接的總數接近於RN;而當所有鍵都較長時，鏈接的總數接近於RNw，所以縮小R或w能夠節省大量的空間。而且在實際應用中，使用單詞查找樹之前，首先了解將要插入的所有鍵的性質是非常重要的。

三向單詞查找樹

R向單詞查找樹雖然檢索速度很快，但空間佔用也非常大，尤其是對於比較大的字符集和比較長的鍵，這將消耗非常大的空間。三向單詞查找樹可避免這個問題。
在三向單詞查找樹中，每個節點都含有一個字符，三條鏈接和一個值。這三條鏈接分別對應着當前字母小於、等於、大於節點字母的所有鍵。只有沿着中間鏈接前進時纔會找到待查找的鍵。

在三向單詞查找樹中查找鍵時，首先將鍵的首字母和根結點進行比較，如果首字母較小，就選擇左鏈接，如果首字母較大，就選擇右鏈接，首字母與根節點字符相等，就選擇中鏈接，然後遞歸查找，直到遇到一個空鏈接或者當鍵結束時結點的值爲空，則查找未命中；如果在鍵結束時結點的值非空，則查找命中。

public class TST<Value> {
    private Node root;

    private class Node {
        char c;
        Node left, mid, right;
        Value val;
    }

    public Value get(String key) {
        Node node = get(root, key, 0);
        if (node == null)
            return null;
        return node.val;
    }

    private Node get(Node x, String key, int d) {
        if (x == null)
            return null;
        char c = key.charAt(d);
        if (c < x.c)
            return get(x.left, key, d);
        else if (c > x.c)
            return get(x.right, key, d);
        else if (d < key.length() - 1)
            return get(x.mid, key, d);
        else
            return x;
    }

    public void put(String key, Value val) {
        root = put(root, key, val, 0);
    }

    private Node put(Node x, String key, Value val, int d) {
        char c = key.charAt(d);
        if (c < x.c)
            x.left = put(x.left, key, val, d);
        else if (c > x.c)
            x.right = put(x.right, key, val, d);
        else if (d < key.length() - 1)
            x.mid = put(x.mid, key, val, d);
        else
            return x.val = val;
        return x;
    }

}

三向單詞查找樹的性質

三向單詞查找樹可以看作是R向單詞查找樹的緊湊表示，但三向單詞查找樹的形狀是與鍵的插入順序有關的，而且空間佔用要比R向單詞查找樹小很多。
三向單詞查找樹的每個結點只含有3個鏈接，樹的鏈接總數在3N到3Nw之間。