逆元线性打表后求大组合数（m≤10^6）

逆元求组合数中作用就是讲公式中的除法取余转化为乘法取余，其实当m≤10^5时，都可以直接暴力求分子中每个因子的逆元(会用到快速幂)，这里需要先求出p的欧拉函数值。 此处n，p的值在数据范围(10^18)内就行

除了上面的思路，我们也可以O(n)打表得出1!~n!的逆元对p取模后的结果：求逆元的方法总结、打表，这时就不需要用到快速幂求逆元，但此时对n的范围就有要求了：n≤10^6, m≤10^6

打表代码实现：
注意：需要满足条件n<p

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
  inv[i]=p-p/i*inv[p%i]%p;
for(int i=2;i<=n;++i)
  inv[i]=(inv[i]*inv[i-1])%p;

例题1：P3807 【模板】卢卡斯定理
代码：

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int manx=2e5+7;
LL a[manx],b[manx];
LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
{
    if(n<m) return 0;
    else if(n<p) return (b[n]*a[m]%p)*a[n-m]%p;
    else return Lucas(n/p,m/p,p)*Lucas(n%p,m%p,p)%p;
}
int main()
{
     LL n,m,p,t;
     scanf("%lld",&t);
     while(t--)
     {
          scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
          a[0]=a[1]=b[0]=b[1]=1;
          for(int i=2;i<=n+m;i++) b[i]=b[i-1]*i%p;
          for(int i=2;i<=n+m;i++) a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;
          for(int i=2;i<=n+m;i++) a[i]=a[i-1]*a[i]%p;
          printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,p));
     }
}

因为这里n+m可能会大于p，所以需要用卢卡斯转化一下。

例题2：power-oj2816: Alice的编程之旅

输入包含T（1≤T≤10⁶）组数据。
接下来T行，每行包含两个正整数n，m。（1≤m≤n≤10⁵）

用上面的方法，可以先将1~n的阶乘及阶乘的逆元打表后，O(1)得到结果：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const LL manx=1e5+10;
const LL p=1e9+7;
LL inv[manx],a[manx];
int main()
{
    int n,m,t;
    a[0]=a[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e5;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    for(int i=2;i<=1e5;i++)
    {
        a[i]=i*a[i-1]%p;
        inv[i]*=inv[i-1];
        inv[i]%=p;
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        LL ans=1;
        ans*=a[n];
        ans%=p;
        ans*=inv[m];
        ans%=p;
        ans*=inv[n-m];
        ans%=p;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}