前言：
組合數，大家初中就學過，從n個不同元素裏選出m個元素的所有組合的個數，叫做n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號C(n,m) 表示。在數論裏，組合數算是非常基礎的，也經常使用的一種算法，這篇博客主要是討論在算法題目中，經常使用的處理組合數的方式。（如有錯誤，歡迎大家留言指正）
方式一：遞推公式
我們初中就學過，組合數有許多性質，也肯定知道組合數有一個遞推公式。
簡單解釋一下，我們從 n 個物體裏選出 m 個物體，那麼對於 n 個物體中的其中一個物體，無疑就只有兩種情況，選擇了這個物體 or 沒有選擇這個物體，那麼選擇了這個物體就有 C(n-1,m-1)種方式(已經確定一個，再選 m-1 個)，沒有選擇這個物體就有 C(n-1,m)種方式(沒有確定的，要選 m 個)，因此我們可以得到 C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
在一般題目中，我們可以通過這個遞推公式來預處理組合數，這樣在之後使用組合數時就可以實現O(1)調用了。
代碼段
for(int i=0;i<=n;i++)//先處理m=0的情況
C[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;//遞推注意事項
因爲遞推公式要開二維，如果 n 很大，數組會爆，建議如果 n>=1e4 的話要謹慎使用，實測 int 數組 n>=3e4 會爆，long long 數組 n>=2e4 會爆，即使數組沒爆，也有可能爆內存，所以 n>=1e4 要謹慎使用。
方式二：利用公式預處理
前面利用遞推公式的預處理，因爲是二維的，很容易爆內存，所以，我們要想其他辦法，來預處理。我們初中就學過。
一般來說，我們只需要預處理出 1~n 的階乘（通過遞推），就可以通過上面的式子計算出 C(n,m) 了，但是在很多情況下，求組合數，往往伴隨着取模操作，所以不能簡單的通過上面的式子計算了。
因此這裏就涉及了分數取模的問題，這樣的話，在模數爲素數時，我們可以根據費馬小定理來求。
這裏簡要說明一下費馬小定理（不涉及證明）。
費馬小定理
若存在整數 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互爲質數，則有a^(p-1)≡ 1(mod p)。
我們可以根據費馬小定理推出，a(p-2) ≡ a-1 (mod p)。因此我們可以將（mod爲素數） n!-1%mod 轉化成 n!mod-2%mod 通過費馬小定理，之後再用快速冪，就可以轉化成整數取模了。
代碼段
快速冪代碼
long long quickpow(long long x,long long k)
{
long long res=1;
while(k)
{
if(k&1)//k爲奇數
res=res*x%mod;
k>>=1;//k/2
x=x*x%mod;
}
return res;
}預處理爲下方代碼
//A[]爲階乘，inv[]爲階乘倒數
A[0]=1;//0!=1
for(int i=1;i<=n;i++)//n!=(n-1)!*n
A[i]=A[i-1]*i%mod;
//費馬小定理
inv[n]=quickpow(A[n],mod-2);//quickpow快速冪
for(int i=n-1;i>=0;i--)//1/n!*n=1/(n-1)!
inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;組合數就可以由下方代碼得到
long long getC(int n,int m)
{
//A[]爲階乘，inv[]爲階乘倒數
if(n==m||!m)
return 1;
else
return A[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}注意事項
費馬小定理只能運用在兩數互質的情況下，所以一般題目只有模數爲素數時我們才能使用上面的方法。當然，也要注意 n 的大小，1e8以上最好別使用，會爆內存。
方式三：Lucas定理
當 n>=1e15 並且最好 p<=1e5時，可以用Lucas定理來求解這些大組合數。
Lucas定理如下（馮志剛《初等數論》）
我們可以將上面的定理化爲 C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p,這樣我們就可以遞歸的求解了。
代碼段
遞歸
long long C(long long n,long long m)//C(n,m)
{
if(n<m)
return 0;
long long x=1,y=1;
for(long long i=n;i>n-m;i--)//暴力求階乘
x=x*i%mod;
for(long long i=m;i>0;i--)
y=y*i%mod;
return x*quickpow(y,mod-2)%mod;//quickpow快速冪
}
long long Lucas(long long n,long long m)//C(n,m)%mod
{
if(m==0)
return 1;
return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}非遞歸
long long Lucas(long long n,long long m)//C(n,m)%p
{
//quickpow快速冪，A[]爲階乘
long long res=1;
while(n&&m)
{
long long nn=n%mod,mm=m%mod;
if(nn<mm)
return 0;
//1/n!%mod=n^(mod-2)%mod;
res=res*A[nn]*quickpow(A[mm]*A[nn-mm]%mod,mod-2)%mod;
n/=mod,k/=mod;
}
return res;
}注意事項
Lucas定理只有當 n,m非常大，p比較小的時候才嫩使用，並且如果 p 不爲素數還得通過質因數分解+中國剩餘定理合併等方式求解（這裏不展開了）。
總結
組合數處理方式比較多，每個方式都有自己適應的條件，我們使用的時候要具體問題具體分析，根據條件選擇合適的方式。歡迎大家評論交流。