【劍指 2】面試題 43：1～n 整數中 1 出現的次數

題目：輸入一個整數 n，求 1～n 這 n 個整數的十進制表示中 1 出現的次數。例如，輸入 12，1～12 這些整數中包含 1 的數字有 1、10、11 和 12，1 一共出現了 5 此。

對於 X ∈ [1, 9]，1～n 整數中 X 出現的次數在算法一樣。（0 的比較特殊，不過大致思想類似）。

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解題思路：

分別以 12493、12593、12693 爲例，計算數字 5 出現的次數。

其中，結果爲 5 分別在個位、十位，直到萬位出現的次數的和。

以 5 在百位上出現的次數爲例進行講解：

1. 對於 12493，百位上位爲 4 < 5，所以其更高位，即萬、千位只能從 00 - 11 進行變換，即 01、02...10、11 進行變化，共 12 種；而其更低位，即十、個位只能從 00 - 99 進行變換（因爲萬千位最大也才 11，即 115XX，此時十個位最大可爲 99，即 11599，小於 12493），共 100 種。

   因此，對於 12493，5 在百位出現的次數位 12 * 100 = 1200

2. 對於 12593，百位上爲 5 == 5。所以其更高位，即萬、千位只能從 00 - 12 進行變換；而其更低位，就需要看情況了：
   （1）當萬千位爲 00 - 11 的時候，百十位可以是 00 - 99 進行變換；
   （2）當萬千位爲 12 的時候，因爲不能大過 12593，因此只能從 00 - 93 進行變換，共 94 種。

   因此，對於 12493，5 在百位出現的次數位 12 * 100 + 94 = 1294

3. 對於 12693，百位上爲 6 > 5。所以其更高位，即萬、千位能從 00 - 12 進行變換，共 13 種；而其更低位，即十、個位能從 00 - 99 進行變換（因爲萬千位最大也才 12，即 125XX，此時十個位最大可爲 99，即 12599，小於 12693），共 100 種。

   因此，對於 12693，5 在百位出現的次數位 13 * 100 = 1300

對於 5 在其他位上出現的次數，也類似。

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算法的具體實現：

// 用於控制數字 X 出現的次數
private static int X = 1;

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
    if (n < 1) return 0;
    if (n < 10) return 1;
    int sum = 0;
    // 用於輔助判斷是不是把 n 的每一位遍歷完了
    int tag = n;
    // 用於記錄位的索引，從 n 的個位向高位開始
    int index = 1;
    while (tag > 0) {
        int mi = (int) Math.pow(10, index);
        int num = n % mi;
        // 得到當前位的更高位
        int high = n / mi;
        int mi2 = (mi / 10);
        // 得到當前位
        int cur = num / mi2;
        // 得到當前位的更地位
        int low = num % mi2;
        // 記錄當前位出現 X 的次數
        int count = 0;
        if (cur < X) {
            count = high * mi2;
        } else if (cur > X) {
            count = (high + 1) * mi2;
        } else {
            count = high * mi2 + (low + 1);
        }
        tag /= 10;
        ++index;
        System.out.println(count);
        sum += count;
    }
    return sum;
}

一個數 n 有 ((O(log₁₀ n) 取整) + 1) 位，因此上述算法的時間複雜度爲 O(log₁₀ n )。

爲什麼數 n 有 ((O(log₁₀ n) 取整) + 1) 位？

因爲假設 n ∈ [10^x, 10^x+1-1]，且 n 爲整數，則 n 對於的位數屬於 x + 1。例如 199，其屬於 [100, 999]，有 log₁₀ 100 = 2，則 199 對應的位數爲 2 + 1 = 3.

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參考文章：劍指offer-整數中1出現的次數（從1到n整數中1出現的次數）