哇，開始重新補數學知識了以後，才發現有好多“XX空間”這樣的概念啊，這本書說這個，那篇文章又用那個，搞得人云裏霧裏，所以在這裏把基礎知識整理一下，主要關注“空間”概念本身和概念之間的區別。
線性空間/向量空間
線性空間=向量空間！！這兩個概念是等價的。線性空間的概念如下：
簡單來說，線性空間就是定義了加法和數乘運算、且滿足上述八條運算規律的非空集合。
常見的線性空間有：實數域
線性空間的性質有：
線性空間中零元素是唯一的。
線性空間中任一元素的負元素是唯一的。
對於線性空間中的任意元素
如果 
還有非常重要的“線性相關”、“基”、“維數”、“線性子空間”的概念，想必大家都很熟悉了，在這裏就不多說了，有疑問的可以點這裏。
範數+線性賦範空間
線性賦範空間就是定義了範數的線性空間，範數和線性賦範空間的定義如下：
在這裏需要說明一下，一個線性空間可以引入多個範數。常用的範數有：
- L1範數: ||x|| 爲x向量各個元素絕對值之和，
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- L2範數: ||x|| 爲x向量各個元素平方和的1/2次方，L2範數又稱Euclidean範數或者Frobenius範數，
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- Lp範數: ||x|| 爲x向量各個元素絕對值p次方和的1/p次方，
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- L∞範數: ||x|| 爲x向量各個元素絕對值最大的那個元素的絕對值，
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- L-∞範數: ||x|| 爲x向量各個元素絕對值最小的那個元素的絕對值，
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度量空間/距離空間+線性度量空間
度量空間亦稱距離空間，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。
在一維、二維、三維線性空間中，“距離”的概念都是很直觀的，但是再往更高維度線性空間或者非線性空間擴展，物理意義上“距離”的定義顯然不適用了，因此我們可以採用更抽象的方式定義“距離”和“距離空間（度量空間）”：
設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，若按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三個性質：
(1) 【非負性】d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，當且僅當x=y]；
(2) 【對稱性】d(x，y)=d(y，x)；
(3) 【三角不等性】對於任意的x，y，z∈X，恆有 d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。
則稱d(x, y)爲x與y的距離，並稱X是以d爲距離的距離空間。
線性度量空間，很顯然，就是在線性空間的基礎上在定義距離的空間。
在這裏，我們還可以把距離和範數聯繫起來：
- 曼哈頓距離（對應L1範數）
- 歐式距離（對應L2範數）
- 切比雪夫距離（對應L∞範數）
同一個空間可以由多個範數，但是隻能定義一個距離，所以，我們可以通過範數來定義距離，但是不能通過距離來定義範數。
內積空間+歐氏空間+酉空間
線性空間中僅定義了線性運算（加法和數乘），之後，我們可以引入“距離”的概念，使得向量具有了“模（長度）”的特徵。如果我們進一步定義了內積（也稱爲點積或標量基），將一對矢量與一個純量連接起來，那就相當於我們在這個空間中引入了“夾角”的概念，並可以進一步談論矢量的正交、投影等。
定義了內積的線性空間被稱爲內積空間，具體定義如下：
當K是實數域時，我們將U稱爲實內積空間，也稱爲歐幾里得（Euclid）空間或歐氏空間；當K是複數域時，我們將U稱爲復內積空間，也稱爲酉空間或U空間。
內積空間滿足以下性質：
希爾伯特空間+巴拿赫空間
完備的內積空間稱爲希爾伯特（Hilbert）空間，而完備的賦範空間稱爲巴拿赫（Banach）空間。在這裏，完備性的意思就是柯西序列在內部收斂。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，是用內積定義的範數。這個按我目前學到的用的不多，我也太瞭解，就不詳細展開了，以後用到了再補充吧，Bye~
參考
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6sgceP9H45f.html
https://wenku.baidu.com/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html
https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288
https://max.book118.com/html/2017/1008/136508481.shtm