程序員的自我修養之數學基礎11：期望、方差、常見分佈（均勻分佈、二項分佈、泊松分佈、正態分佈）

目錄

一、期望

1. 離散型隨機變量的期望

2. 連續型隨機變量的期望

3. 期望的性質

二、方差和均方差

1. 定義

2. 計算

三、常見分佈

1. 均勻分佈

2. 二項分佈和幾何分佈

3. 泊松分佈

4. 正態分佈

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一、期望

期望這個概念，初高中就學過了吧，所以這裏就簡單說一下定義。

1. 離散型隨機變量的期望

2. 連續型隨機變量的期望

3. 期望的性質

• E(cX)=xE(x)
• E(X+Y)=E(x)+E(Y)
• X,Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y)

二、方差和均方差

1. 定義

方差，主要用於研究隨機變量與其均值的偏離程度：

均方差又稱標準差：

2. 計算

設 ，那麼，方差，就相當於g(X)的期望。

因此，對於離散型隨機變量，有：

對於連續型隨機變量，有：

3. 性質

• 若c爲常數，則D(C)=0
• 若X是隨機變量，C是常數，則有 ，
• 若X，Y是連個隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
• 若X，Y相互獨立，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

三、常見分佈

1. 均勻分佈

這個太簡單了，我都不想說了……

函數定義

概率分佈圖像： 

 關於均勻分佈，我們還需要知道：

• 期望：
• 方差：

2. 二項分佈和幾何分佈

二項，二項，爲啥叫二項分佈呢？顧名思義，就是這個隨機事件只有兩種可能的結果，也就是所謂的“不成功便成仁”，因此，二項分佈也被稱爲0-1分佈。

二項分佈必須滿足下面4個特點：一是某件事情發生的次數（試驗次數）是固定的，一般用n來表示；二是每件事情都有兩個可能的結果（成功或失敗）；三是每一次試驗中成功的概率都是相等的，一般用p來表示；四是我們感興趣的是成功x次的概率問題，也就是在n次試驗中x次的結果爲成功的概率。

二次分佈的公式如下：

關於二次分佈，你還要知道：

• 期望（表示事情發生n次預計成功多少次）
• 標準差（表示數據的波動大小）

幾何分佈和二項分佈兼職就是“海爾兄弟”。幾何分佈也需要滿足4個特點，前三個和二次分佈完全一樣，不同的是，在幾何分佈問題中，我們感興趣的是，在第x次試驗中取得第一次成功的概率有多大。舉個例子，同樣是拋硬幣，拋5次，二項分佈可能關注，5次試驗中3次結果爲朝上的概率，而幾何分佈中，我們關注的是“只有第五次正面朝上的概率”，也就是說，前四次均失敗但第五次成功的概率。

幾何分佈的公式是這個樣子的：

幾何分佈的期望，標準差

3. 泊松分佈

泊松分佈（Poisson Distribution），一般用於描述在連續時間和空間單位上隨機事件的概率，也就是說，我們可以基於已有的經驗，預測該隨機事件在新的同樣長的時間裏或同樣大的空間中發生N次的概率。比如，機器在一定時間內故障的次數、汽車站臺在一定時間內的候車人數、某地區自然災害發生的次數等等。

泊松分佈需要滿足以下三個特點：

1）在給定區間內（可以是時間或者空間），事件是獨立事件

2）在任意相同的時間範圍內，事件發生的次數（概率）相同，一般用 表示該區間內事件的平均發生次數；

3）我們關注的是某個區間內，事件發生x次的概率。

Poisson分佈的概率函數爲：

在這裏，我們用到了指數函數，這裏的e是自然對數（ln）的底數，。

泊松分佈的期望，方差爲。

在二項分佈的p很小的時候，泊松分佈和二次分佈較爲接近。

4. 正態分佈

正態分佈（Normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。

正態分佈的圖像，就是著名的“鐘形曲線”，如下圖所示：

正態分佈的期望，方差。若隨機變量X服從正態分佈，記爲。正態分佈的概率密度函數爲：

我們常說的標準正態分佈，是指未知參數 ，尺度參數的正態分佈。其表達式可以簡化爲：

正態分佈具有許多獨特的性質：

• 密度函數關於平均值（即、位置參數、期望）對稱
• 平均值=衆數=中位數

 

參考：

http://www.360doc.com/content/17/1231/22/9200790_718001949.shtml

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81327881

https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/80610361