程序员的自我修养之数学基础11：期望、方差、常见分布（均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布）

目录

一、期望

1. 离散型随机变量的期望

2. 连续型随机变量的期望

3. 期望的性质

二、方差和均方差

1. 定义

2. 计算

三、常见分布

1. 均匀分布

2. 二项分布和几何分布

3. 泊松分布

4. 正态分布

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一、期望

期望这个概念，初高中就学过了吧，所以这里就简单说一下定义。

1. 离散型随机变量的期望

2. 连续型随机变量的期望

3. 期望的性质

• E(cX)=xE(x)
• E(X+Y)=E(x)+E(Y)
• X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

二、方差和均方差

1. 定义

方差，主要用于研究随机变量与其均值的偏离程度：

均方差又称标准差：

2. 计算

设 ，那么，方差，就相当于g(X)的期望。

因此，对于离散型随机变量，有：

对于连续型随机变量，有：

3. 性质

• 若c为常数，则D(C)=0
• 若X是随机变量，C是常数，则有 ，
• 若X，Y是连个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
• 若X，Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

三、常见分布

1. 均匀分布

这个太简单了，我都不想说了……

函数定义

概率分布图像： 

 关于均匀分布，我们还需要知道：

• 期望：
• 方差：

2. 二项分布和几何分布

二项，二项，为啥叫二项分布呢？顾名思义，就是这个随机事件只有两种可能的结果，也就是所谓的“不成功便成仁”，因此，二项分布也被称为0-1分布。

二项分布必须满足下面4个特点：一是某件事情发生的次数（试验次数）是固定的，一般用n来表示；二是每件事情都有两个可能的结果（成功或失败）；三是每一次试验中成功的概率都是相等的，一般用p来表示；四是我们感兴趣的是成功x次的概率问题，也就是在n次试验中x次的结果为成功的概率。

二次分布的公式如下：

关于二次分布，你还要知道：

• 期望（表示事情发生n次预计成功多少次）
• 标准差（表示数据的波动大小）

几何分布和二项分布兼职就是“海尔兄弟”。几何分布也需要满足4个特点，前三个和二次分布完全一样，不同的是，在几何分布问题中，我们感兴趣的是，在第x次试验中取得第一次成功的概率有多大。举个例子，同样是抛硬币，抛5次，二项分布可能关注，5次试验中3次结果为朝上的概率，而几何分布中，我们关注的是“只有第五次正面朝上的概率”，也就是说，前四次均失败但第五次成功的概率。

几何分布的公式是这个样子的：

几何分布的期望，标准差

3. 泊松分布

泊松分布（Poisson Distribution），一般用于描述在连续时间和空间单位上随机事件的概率，也就是说，我们可以基于已有的经验，预测该随机事件在新的同样长的时间里或同样大的空间中发生N次的概率。比如，机器在一定时间内故障的次数、汽车站台在一定时间内的候车人数、某地区自然灾害发生的次数等等。

泊松分布需要满足以下三个特点：

1）在给定区间内（可以是时间或者空间），事件是独立事件

2）在任意相同的时间范围内，事件发生的次数（概率）相同，一般用 表示该区间内事件的平均发生次数；

3）我们关注的是某个区间内，事件发生x次的概率。

Poisson分布的概率函数为：

在这里，我们用到了指数函数，这里的e是自然对数（ln）的底数，。

泊松分布的期望，方差为。

在二项分布的p很小的时候，泊松分布和二次分布较为接近。

4. 正态分布

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态分布的图像，就是著名的“钟形曲线”，如下图所示：

正态分布的期望，方差。若随机变量X服从正态分布，记为。正态分布的概率密度函数为：

我们常说的标准正态分布，是指未知参数 ，尺度参数的正态分布。其表达式可以简化为：

正态分布具有许多独特的性质：

• 密度函数关于平均值（即、位置参数、期望）对称
• 平均值=众数=中位数

 

参考：

http://www.360doc.com/content/17/1231/22/9200790_718001949.shtml

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81327881

https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/80610361