题目:
For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.
Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format.
Example 1:
Input: "13"
Output: "3"
Explanation: 13 base 3 is 111.
Example 2:
Input: "4681"
Output: "8"
Explanation: 4681 base 8 is 11111.
Example 3:
Input: "1000000000000000000"
Output: "999999999999999999"
Explanation: 1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.
Note:
The range of n is [3, 10^18].
The string representing n is always valid and will not have leading zeros.
本题是寻找一个数最小的good base。其定义是对于一个数y,其x进制表示为全1,则称x是y的good base。应该比较好理解,其实就是将y写成1+x+x^2+...+x^(n-1)
,就是一个等比数列求和,于是我们可以将其转化为y = (x^n - 1)/(x - 1)
,其中x>=2, 3<y<10^18
,为了寻找最小的x,我们可以先来确定一下n的取值范围,很明显x越小n越大,所以当x=2时,n最大为log2(y+1)
。从第三个例子可以看出来,当x=y-1时,n最小为2。所以有了n的取值范围我们就可以遍历所有可能的n,然后每次循环中y和n都是确定值,在对x使用二叉搜索确定其值即可。
另外一个需要注意的问题就是,因为本题中的数都比较大,所以要注意溢出问题,之前也做过一到这种题,可以使用java内置的BigInteger类进行处理。代码如下所示:
public static String smallestGoodBase(String n) {
//现将字符串解析成long型数据
long s = Long.parseLong(n);
//对所有可能的指数n进行遍历
for(int max_e=(int)(Math.log(s)/Math.log(2)) + 1; max_e>=2; max_e--){
long low=2, high=s, mid;
//进行二叉搜索,寻找最小的good base。
while(low <= high){
mid = low + (high - low)/2;
//一开始没有使用BigInteger,会报错
BigInteger left = BigInteger.valueOf(mid);
left = left.pow(max_e).subtract(BigInteger.ONE);
BigInteger right = BigInteger.valueOf(s).multiply(BigInteger.valueOf(mid).subtract(BigInteger.ONE));
int cmr = left.compareTo(right);
if(cmr == 0)
return String.valueOf(mid);
else if(cmr > 0)
high = mid - 1;
else
low = mid + 1;
}
}
return String.valueOf(s-1);
}
上面这种方法效率比较低,还在网上找到了下面这种解决方案,首先说前面三行,一个是使用内置方法将字符串转化为long型整数,一个是写循环,测试结果发现第二种效果更好==,其次使用这种方法可以击败98%的用户,原因是其在二叉搜索的过程中的上限取的是Math.pow(num, 1.0/p) + 1
,相比num本身小了很多,所以大大节省了时间。
public String smallestGoodBase1(String n) {
long num = 0;
for (char c : n.toCharArray()) num = num * 10 + c - '0';
//long num = Long.parseLong(n);
long x = 1;
for (int p = 64; p >= 1; p--) {
if ((x << p) < num) {
long k = helper(num, p);
if (k != -1) return String.valueOf(k);
}
}
return String.valueOf(num - 1);
}
private long helper(long num, int p) {
long l = 1, r = (long)(Math.pow(num, 1.0/p) + 1);
while (l < r) {
long mid = l + (r - l) / 2;
long sum = 0, cur = 1;
for (int i = 0; i <= p; i++) {
sum += cur;
cur *= mid;
}
if (sum == num) return mid;
else if (sum > num) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return -1;
}