矩母函数

原創

2020-06-28 18:14

矩母函数

概念

矩

什么叫矩？
给出知乎上的一个回答矩的概念以及wiki上的数学定义。

数学上，一个分布函数f(x) 的n阶矩定义为

μ n = \int \infty - \infty (x - c) n f (x) d x

物理学上的力矩、转动惯量、磁矩、角动量、电偶极矩，统计学上的原点矩，都是这个形式。

母函数

幂级数展开中各阶系数和一个数列对应相等的函数，称为这个数列的母函数，也叫生成函数(generating function)。显然，任一个函数都是其幂级数展开各项系数组成的数列的母函数。

一个序列{an }的母函数为[1]

G (a n; x) = \sum n = 0 \infty a n x n

矩母函数

矩母函数，能产生一个随机变量各阶原点矩的母函数。
定义式[2]

$M X (t) = E e t X, t \in R$
一般形式
$M X (t) = \int \infty - \infty e t X d F (x)$
离散随机变量
$M X (t) = \sum k = 0 \infty e t k p (X = k)$
连续型随机变量
$M X (t) = \int \infty - \infty e t x f (x) d x$
随机向量的矩母函数
$M X (t) = E e t \cdot X = E e t T X, t \in R$

性质

$M X (t) \geq 0$
$M X (0) = 1$

proof

$M X (0) = E (1) = 1$
MX(t) 可能不存在。

example Cauchy Distribution
proof

$f (x) = 1 π ( 1 + x 2 )$
$E (x) = \int \infty - \infty x 1 π ( 1 + x 2 ) d x = 1 2 π \int \infty - \infty d ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 2 ) = 1 π ln (1 + x 2) | \infty 0 \to \infty$
$M X (0) (n) = m n$

proof
因为

$e t X = 1 + t X + t 2 X 2 2 ! + t 3 X 3 3 ! + \dots$
所以
$M X (t) = 1 + t E X + t 2 E X 2 2 ! + t 3 E X 3 3 ! + \dots = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + t 3 m 3 3 ! + \dots$
所以
$M X (0) (n) = m n$
对连续型随机变量，MX(−t) 是f(x) 的Laplace变换。
线性性.X1,X2 独立时

$M a X 1 + b X 2 = M X 1 (a t) M X 1 (b t)$

proof

$M a X 1 + b X 2 = E e t (a X 1 + b X 2) = E (e t a X 1 \cdot e t b X 2) = E (e t a X 1) E (e t b X 2) = M X 1 (a t) M X 1 (b t)$
若MX(t)=MY(t) 处处成立，则FX(x)=FY(x) 也处处成立，即两个随机变量的矩母函数相同，那么分布函数也相同。

一些分布的矩母函数

（图片来自wikipedia）

特征函数

概念

特征函数，能完全刻画一个随机变量概率分布的函数。
定义式[Characteristic function]

$φ X (t) = E e i t X, t \in R$
一般形式
$φ X (t) = \int \infty - \infty e i t X d F (x)$
离散随机变量
$φ X (t) = \sum k = 0 \infty e i t k p (X = k)$
连续型随机变量
$φ X (t) = \int \infty - \infty e i t x f (x) d x$
随机向量的特征函数
$φ X (t) = E e i t \cdot X = E e i t T X, t \in R$

性质

φX(t) 一定存在，且|φ(t)|≤1

proof

$| φ X (t) | = ∣ ∣ ∣ \int \infty - \infty e i t X d F (x) ∣ ∣ ∣ \leq | e i t X | ∣ ∣ ∣ \int \infty - \infty d F (x) ∣ ∣ ∣ \leq 1 >$
收敛
$φ X (0) = 1$

proof

$φ X (0) = E (1) = 1$

全空间连续。
0 邻域内非零。
厄米性
$φ X (- t) = φ X (t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯$
对称的概率密度分布对应的特征函数是实值偶函数。
$f X (x) = f Y (x) \Leftrightarrow φ X (t) = φ Y (t)$
$m n = E X n = (- i) n φ (n) X (0)$

proof
因为

$e i t X = 1 + i t X + i 2 t 2 X 2 2 ! + i 3 t 3 X 3 3 ! + \dots$
所以
$φ X (t) = 1 + i t E X + i 2 t 2 E X 2 2 ! + i 3 t 3 E X 3 3 ! + \dots = 1 + i t m 1 + i 2 t 2 m 2 2 ! + i 3 t 3 m 3 3 ! + \dots$
所以
$φ X (0) (n) = m n i n$
对连续型随机变量，φX(−t) 是f(x) 的Fourier变换。
线性性.X1,X2 独立时

$φ a X 1 + b X 2 = φ X 1 (a t) φ X 1 (b t)$

proof

$φ a X 1 + b X 2 = E e i t (a X 1 + b X 2) = E (e i t a X 1 \cdot e i t b X 2) = E (e i t a X 1) E (e i t b X 2) = φ X 1 (a t) φ X 1 (b t)$
Lévy’s continuity theorem

一些分布的特征函数

（图片来自wikipedia）

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矩母函数

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矩

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一些分布的矩母函数

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性质

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