rng_58出的神數學題……爆零給跪……不過發現TC在做練習賽的時候自己可以無限制地cha自己……
250pts：
題意：有一堆N個石子，雙方輪流取，每次只能取4^k個（k爲非負整數），無法操作者敗。求是否先手必勝。
分析：這題有神結論……先說一種錯誤做法：把N化爲四進制，對四進制數的每位求和，如果和爲奇數這先手必勝。
這個做法是錯的，因爲一次取不一定要取高位。舉個例子，N=8，化爲四進製爲20。但此時是先手必勝的，因爲先手可以取1個，之後無論後手怎麼操作都必敗。
這題的神結論就是：先手必敗的充要條件是，N除以5餘0或2。證明如下：
1、證明任意必勝態都能在一步之內到達一個必敗態。必勝態爲N%5=1,3,4，而4^k%5=1或4，所以N-4^k%5=0,2。
2、證明任意必敗態都無法在一步之內到達另一個必敗態。假設存在必敗態x和y（x,y%5=0,2）且存在非負整數k'使得x-4^k'%5=y%5。可以發現等式是無法成立的。
600pts：
題意：有N張牌，正反都有數字。所有正面和所有反面的數字各構成一個排列。將牌排成一排，每張牌可以正面朝上或者反面朝上，這樣可以構成一個序列。給定N張牌正面和反面的數字，求：所有可能的序列方案數。N≤50。
分析：
假設N足夠小，可以讓我們枚舉哪些牌正面朝上。那麼會發現，可能會有一些數字重複出現，而且重複出現次數最多爲2。記重複出現的數字個數爲K，那麼這些牌的不同排列數爲：N!/2^K，即多重集的排列數。
現在我們要求的就是，對於任意合法的K，在多少種牌的正反方案中有K個數出現了2次。
我們把所有牌按正面數值1到N的順序擺成一排。這樣我們就可以把反面數值視爲一個置換，把這張牌反面就相當於置換這一個位置。可以發現，置換的不同循環之間是不影響的。
現在我們就來考慮一個循環。記這個循環的長度爲L，假設出現兩次的數的個數爲K。顯然有K≤L/2。