线性回归是一种基本的机器学习算法，用于基于一个或多个自变量预测数字因变量,而因变量（Y）应该是连续的。这里将描述如何在Julia中构建线性回归，构建模型后如何诊断。
1、线性回归概述
线性回归是一种最基本的机器学习算法，用于基于一个或多个自变量预测因变量。因变量（Y）应该是连续的。线性回归找到最能描述Y变量作为X变量（特征）函数的数学方程。方程一旦形成，就可以用来预测只有X已知时Y的值。 这一数学方程可概括如下：
𝑌=𝛽1+𝛽2𝑋+𝜖
其中，𝛽1为截距，𝛽2为斜率。如果只有一个X变量，则称为“简单线性回归”。如果涉及多个预测因子（X），则称为“多元线性回归”。不管怎样，它们的构建过程基本是相同。 𝛽i 称为回归系数，𝜖为误差项 且是 回归模型最不好解释的部分。
2、数据准备
这将使用预期寿命的数据来做回归分析。目标是根据不同的特征和人口统计数据预测各国人民的预期寿命。
数据集下载地址：预期寿命数据。
using DataFrames
using CSV
using Plots
using Lathe
using GLM
using Statistics
using StatsPlots
using MLBase
ENV["COLUMNS"] = 1000
df = DataFrame(CSV.File("D:/Life-Expectancy-Data.csv"))
3、数据探索
在建模之前，首先要分析下数据，看下数据的矩阵大小，检查下是否有missing 值或者异常值。
3.1简单的数据清洗
去掉missing值，如果是线性回归，使用中值或者均值替代missing,会影响分析结果。
#数据框的规格检查
println(size(df))
#(2938, 22)
#规范化列名,很多列名会带有空格或者其他特殊字符
colnames = Symbol[]
for i in string.(names(df))
push!(colnames,Symbol(replace(replace(replace(strip(i)," " => "_"),"-" => "_"), "/" => "_")))
end
rename!(df, colnames);
#数据概要统计分析，比如mean,min,max,median,
#当然还有几个非常重要的信息 ，nunique:w唯一值统计数，nmissing,missing值统计数
ds = describe(df)
names(df)
gd = groupby(df, [:Life_expectancy,],sort= false,skipmissing=true)
fh = DataFrame(gd)
# dropmissing!(fh)
数据概要分析
│ Row │ variable │ mean │ min │ median │ max │ nunique │ nmissing │ eltype │
│ │ Symbol │ Union… │ Any │ Union… │ Any │ Union… │ Union… │ Type │
├─────┼─────────────────────────────────┼───────────┼─────────────┼───────────┼────────────┼─────────┼──────────┼─────────────────────────┤
│ 1 │ Country │ │ Afghanistan │ │ Zimbabwe │ 183 │ │ String │
│ 2 │ Year │ 2007.52 │ 2000 │ 2008.0 │ 2015 │ │ │ Int64 │
│ 3 │ Status │ │ Developed │ │ Developing │ 2 │ │ String │
│ 4 │ Life_expectancy │ 69.319 │ 44.3 │ 72.1 │ 89.0 │ │ 0 │ Union{Missing, Float64} │
│ 5 │ Adult_Mortality │ 163.921 │ 1 │ 144.0 │ 723 │ │ 0 │ Union{Missing, Int64} │
│ 6 │ infant_deaths │ 30.3879 │ 0 │ 3.0 │ 1800 │ │ │ Int64 │
│ 7 │ Alcohol │ 4.62009 │ 0.01 │ 3.77 │ 17.87 │ │ 193 │ Union{Missing, Float64} │
│ 8 │ percentage_expenditure │ 742.76 │ 0.0 │ 66.5539 │ 19479.9 │ │ │ Float64 │
│ 9 │ Hepatitis_B │ 80.968 │ 1 │ 92.0 │ 99 │ │ 544 │ Union{Missing, Int64} │
│ 10 │ Measles │ 2423.73 │ 0 │ 17.0 │ 212183 │ │ │ Int64 │
│ 11 │ BMI │ 38.3002 │ 1.0 │ 43.5 │ 77.6 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 12 │ under_five_deaths │ 42.1162 │ 0 │ 4.0 │ 2500 │ │ │ Int64 │
│ 13 │ Polio │ 82.6002 │ 3 │ 93.0 │ 99 │ │ 19 │ Union{Missing, Int64} │
│ 14 │ Total_expenditure │ 5.91715 │ 0.37 │ 5.73 │ 17.6 │ │ 226 │ Union{Missing, Float64} │
│ 15 │ Diphtheria │ 82.4039 │ 2 │ 93.0 │ 99 │ │ 19 │ Union{Missing, Int64} │
│ 16 │ HIV_AIDS │ 1.71779 │ 0.1 │ 0.1 │ 50.6 │ │ │ Float64 │
│ 17 │ GDP │ 7523.47 │ 1.68135 │ 1779.5 │ 119173.0 │ │ 443 │ Union{Missing, Float64} │
│ 18 │ Population │ 1.27937e7 │ 34.0 │ 1.37887e6 │ 1.29386e9 │ │ 644 │ Union{Missing, Float64} │
│ 19 │ thinness__1_19_years │ 4.84456 │ 0.1 │ 3.3 │ 27.7 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 20 │ thinness_5_9_years │ 4.8755 │ 0.1 │ 3.3 │ 28.6 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 21 │ Income_composition_of_resources │ 0.628373 │ 0.0 │ 0.678 │ 0.948 │ │ 160 │ Union{Missing, Float64} │
│ 22 │ Schooling │ 12.012 │ 0.0 │ 12.4 │ 20.7 │ │ 160 │ Union{Missing, Float64} │
3.2 图形分析数据
3.2.1 盒形图的离群点分析，需要根据四分位距去掉部分数据点。
想来看下概念解析：
四分位距（interquartile range, IQR），又称四分差,四分位距通常是用来构建箱形图，以及对概率分布的简要图表概述。是描述统计学中的一种方法，以确定第三四分位数和第一四分位数的区别。与方差、标准差一样，表示统计资料中各变量分散情形，但四分差更多为一种稳健统计（robust statistic）。
分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等分位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分，它就是中位数；如果分成四等分，就是四分位数；八等分就是八分位数等。四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。四分位数有三个，第一个四分位数就是通常所说的四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示 [2] 。
第一四分位数 (Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
第三四分位数 (Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range,IQR）。公式：IQR = Q3 − Q1,
#####基于盒形图的离群点分析
# Box Plot
boxplot(fh.Life_expectancy, title = "Box Plot - Life Expectancy", ylabel = "Life Expectancy (years)", legend = false)
#很明显的看到有一些 异常值，需要删除这些数据点。
#第25百分位数又称第一个四分位数
first_percentile = percentile(fh.Life_expectancy, 25)
#公式：IQR = Q3 − Q1,四分位距（interquartile range, IQR），又称四分差,四分位距通常是用来构建箱形图，以及对概率分布的简要图表概述。是描述统计学中的一种方法，以确定第三四分位数和第一四分位数的区别。与方差、标准差一样，表示统计资料中各变量分散情形，但四分差更多为一种稳健统计（robust statistic）。
iqr_value = iqr(fh.Life_expectancy)
df = fh[fh.Life_expectancy .> (first_percentile - 1.5*iqr_value),:];
3.2.2 密度图进行分布分析
density(df.Life_expectancy , title = "Density Plot - Life Expectancy", ylabel = "Frequency", xlabel = "Life Expectancy", legend = false)
当y变量为正态分布或接近正态分布时，线性回归效果良好。下面是y变量的分布，即预期寿命。分布确实有几个转折点，这说明分布是混合的。然而,总体分布确实像正太分布的曲线, 为了更好的理解，继续看下一个分析。
3.2.3 散点图相关分析
当y变量与x变量线性相关时，线性回归效果比较好。下面有几个概念需要先理解下,然后再看相关系数和散点图,
VAR(方差) 、COR(相关系数) 、COV（协方差）
方差：体现的是一组数据的波动情况，值越小波动越小。详细参阅：方差
协方差：两种不同数据的方差，体现两组数据的变化趋势如何，正值变化趋势一致，负值变化趋势相反，0不相关。详细参阅：协方差
相关系数：从概率论的角度，分析两组不同数据的相关程度，取值范围[-1，1]，越接近与0越不相关，0时却不意味着两组数据独立，相关系数是两个变量之间的线性关联的一个度量，不一定有因果关系的含义。详细参阅：相关系数
println("Correlation of Life Expectancy with Adult Mortality Rate is ", cor(df.Adult_Mortality,df.Life_expectancy), "\n\n")
# Scatter plot
train_plot = scatter(df.Adult_Mortality,df.Life_expectancy, title = "Scatter Plot Life Expectancy vs Adult Mortality Rate", ylabel = "Life Expectancy", xlabel = "Adult Mortality Rate",legend = false)
这两个特征看起来是线性相关的，但仍然有一些点分布在其他位置。在后面我们构建具有多个特性的回归模型时，也许其他一些特征能解释这种关系。
4、数据预处理
数据预处理是建模的重要步骤之一，在前面的步骤中，已经处理了部分异常数据。这里主要针对带有分类的列进行分析。
4.1、独热编码（One Hot Encoding）
独热编码是将类别变量转换为多个数字列的过程，因为有类别。这样，变量就可以被输入到ML算法中，从而更好地进行预测。对于每一个特征，如果它有m个可能值，那么经过独热编码后，就变成了m个二元特征（如成绩这个特征有好，中，差变成one-hot就是100, 010, 001）。数据集中存在两个分类列需要处理。Country列有183个独特的值，分类太多了，只能放弃。相反，对Status列进行独热编码。
scaled_feature = Lathe.preprocess.OneHotEncode(df,:Status)
select!(df, Not([:Status,:Country]))
first(df,5)
4.2、按照比例分割为“测试集”和“训练集”
#安装比例拆分为“测试集”和“训练集”
using Lathe.preprocess: TrainTestSplit
train, test = TrainTestSplit(df,.75)
5、建立模型
这里使用GLM软件包建立线性回归模型，它与R中的“GLM”包非常相似。先从单个变量开始。要使用GLM训练线性回归模型，需要使用lm（）函数，它接受公式对象作为第一个参数，使用@formula创建所需的公式对象。
fm = @formula(Life_expectancy ~ Adult_Mortality)
linearRegressor = lm(fm, train)
# StatsModels.TableRegressionModel{LinearModel{GLM.LmResp{Array{Float64,1}},GLM.DensePredChol{Float64,LinearAlgebra.Cholesky{Float64,Array{Float64,2}}}},Array{Float64,2}}
#
# Life_expectancy ~ 1 + Adult_Mortality
#
# Coefficients:
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) Lower 95% Upper 95%
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
# (Intercept) 78.1938 0.245709 318.237 <1e-99 77.7119 78.6757
# Adult_Mortality -0.053974 0.00119445 -45.1874 <1e-99 -0.0563164 -0.0516316
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
6、模型诊断
。。。。。待续