五大常用算法之-贪心算法

基本概念

贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，它所做出的仅仅是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性（即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关）。

贪心算法的基本思路

1. 建立数学模型来描述问题
2. 把求解的问题分成若干个子问题
3. 对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解
4. 把子问题的解局部最优解合成原来问题的一个解

算法存在的问题

• 不能保证求得的最后解是最佳的
• 不能用来求最大值或最小值的问题
• 只能求满足某些约束条件的可行解的范围

贪心算法适用的问题

贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。

实际上，贪心算法适用的情况很少。一般对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可以做出判断。

贪心选择性质

贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，换句话说，当考虑做何种选择的时候，我们只考虑对当前问题最佳的选择而不考虑子问题的结果。这是贪心算法可行的第一个基本要素。贪心算法以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法求解的关键特征。

贪心算法的实现框架

从问题的某一初始解出发：
while (朝给定总目标前进一步)
{
利用可行的决策，求出可行解的一个解元素。
}
由所有解元素组合成问题的一个可行解；

例题分析

• 【揹包问题】有一个揹包，容量是M=150，有7个物品，物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入揹包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

物品： A B C D E F G
重量：35 30 60 50 40 10 25
价值：10 40 30 50 35 40 30

分析：
目标函数： $\sum{p_i}$ 最大
约束条件是装入的物品总质量不超过揹包容量：$\sum{w_i}\le M(M=150)$

1. 根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入揹包，得到的结果是否最优？
2. 每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？
3. 每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略

值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。比如，求最小生成树的Prim算法和Kruskal算法都是漂亮的贪心算法。
贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。
可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。
一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。
对于例题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

<1> 贪心策略：选取价值最大者。
反例：

W=30
物品：A B C
重量：28 12 12
价值：30 20 20

根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

<2> 贪心策略：选取重量最小。
反例：

W=30
物品：A B C
重量：28 12 12
价值：40 15 15

<3> 贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。
反例：

W=30
物品：A B C
重量：28 20 10
价值：28 20 10

根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。但是果在条件中加一句当遇见单位价值相同的时候,优先装重量小的,这样的问题就可以解决.

所以需要说明的是，贪心算法可以与随机化算法一起使用，具体的例子就不再多举了。（因为这一类算法普及性不高，而且技术含量是非常高的，需要通过一些反例确定随机的对象是什么，随机程度如何，但也是不能保证完全正确，只能是极大的机率正确）。

应用举例

1. 剪绳子
2. 验证回文字符串II