【博弈】B001_LC_石子游戲 II（記憶化搜索 / 純 dp）

一、Problem

亞歷克斯和李繼續他們的石子游戲。許多堆石子 排成一行，每堆都有正整數顆石子 piles[i]。遊戲以誰手中的石子最多來決出勝負。

亞歷克斯和李輪流進行，亞歷克斯先開始。最初，M = 1。

在每個玩家的回合中，該玩家可以拿走剩下的 前 X 堆的所有石子，其中 1 <= X <= 2M。然後，令 M = max(M, X)。

遊戲一直持續到所有石子都被拿走。

假設亞歷克斯和李都發揮出最佳水平，返回亞歷克斯可以得到的最大數量的石頭。

輸入：piles = [2,7,9,4,4]
輸出：10
解釋：
如果亞歷克斯在開始時拿走一堆石子，李拿走兩堆，接着亞歷克斯也拿走兩堆。在這種情況下，亞歷克斯可以拿到 2 + 4 + 4 = 10 顆石子。 
如果亞歷克斯在開始時拿走兩堆石子，那麼李就可以拿走剩下全部三堆石子。在這種情況下，亞歷克斯可以拿到 2 + 7 = 9 顆石子。
所以我們返回更大的 10。 

提示：

1 <= piles.length <= 100
1 <= piles[i] <= 10 ^ 4

二、Solution

方法一：記憶化

記憶化也可以用 dp 的角度來分析

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示當前取到第 $i$ 堆且最多可以取 $j$ 堆時的最大得分
• 思考初始化：
  • $f[0:][0:] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i][j] = max(f[i][j],\ s[i:] - dfs(i+x,\ max(x, m))$

這裏要注意的是：我們是不知道如何狀態轉移才能讓壓力克斯有最大得分，但我們唯一可以確定的就是壓力克斯可以取的堆數 X，而知道 X 後，李開始取石子的起始位置也就確定了，所以我們只能枚舉所有可取到的堆數 X，然後從中選最優

class Solution {
    int n, s[], f[][];

    int dfs(int i, int m) {
        if (i >= n)
            return 0;
        if (i + 2*m >= n)
            return s[i];
        if (f[i][m] != 0)
            return f[i][m];
        int max = 0;
        for (int x = 1; x <= 2*m; x++) {
            max = Math.max(max, s[i] - dfs(i+x, Math.max(x, m)));
        }
        return f[i][m] = max;
    }
    public int stoneGameII(int[] piles) {
        n = piles.length;
        s = new int[n+1];
        f = new int[n][n+100];
        for (int i = n-1; i >= 0; i--)
            s[i] = s[i+1] + piles[i];
        
        return dfs(0, 1);
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × ...)$，
• 空間複雜度：$O(n × ...)$，

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方法二：dp

代辦…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，