【區間 dp】B019_LC_單詞拆分（向前看 / 優化邊界）

一、Problem

給定一個非空字符串 s 和一個包含非空單詞列表的字典 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分爲一個或多個在字典中出現的單詞。

說明：

• 拆分時可以重複使用字典中的單詞。
• 你可以假設字典中沒有重複的單詞。

輸入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
輸出: true
解釋: 返回 true 因爲 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
注意你可以重複使用字典中的單詞。

輸入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
輸出: false

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i]$ 表示字符串 $s$ 的前 $i$ 個字符能否拆分成一個或多個在字典中出現的單詞
• 思考初始化：
  • $f[0] = true$，我是試了下空串才知道的爲 true，可能是…
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果存在 $f[l] = true\ \&\&\ set.contains(sub))$，則有 $f[r] = true$ 表示如果子串 $s[0:r]$ 能在字典中找到的前提條件是，子串 $s[0:l]$ 在字典中，且 $s[l:r]$ 也在字典中
• 思考輸出：$f[n]$

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        Set<String> st = new HashSet<>(wordDict);
        int n = s.length();
        boolean f[] = new boolean[n+1];
        f[0] = true;

        for (int r = 1; r <= n; r++)
        for (int l = 0; l < r; l++) {
            if (f[l] && st.contains(s.substring(l, r))) {
                f[r] = true;
                break;
            }
        }
        return f[n];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

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方法二：優化

• 第一：如果 wordDict 中的單詞長度都比 1 大，那麼右邊界 $r$ 從 1 開始也就變得有點雞肋了，所以 $r$ 可從 wordDict 的最短單詞長度 mi 開始
• 第二：如果 $r-l$ 很大，而字 wordDict 中的單詞最大長度都比 $r-l$ 要短，那麼此時 $s[l:r]$ 這個子串也肯定在 wordDict 找不到，所以 l 可以從最大 wordDict 中的最大單詞長度的其實位置開始 $r-mx$

基於以上兩個問題，我們可把代碼改爲：

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        Set<String> st = new HashSet<>(wordDict);
        int n = s.length(), mi = 0, mx = -1;
        boolean f[] = new boolean[n+1];
        f[0] = true;
        for (String w : st) {
            if (w.length() > mx) 			mx = w.length();
            if (mi == 0 || mi > w.length()) mi = w.length();
        }

        for (int r = mi; r <= n; r++)
        for (int l = Math.max(0, r-mx); l < r; l++) {
            if (f[l] && st.contains(s.substring(l, r))) {
                f[r] = true;
                break;
            }
        }
        return f[n];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，