Leetcode-劍指offer-斐波那契數列-矩陣快速冪實現

前情

本文內容首先需要了解快速冪的實現原理，詳情見 pow(x, n)快速冪實現

題目

leetcode鏈接： https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/

題目描述：

寫一個函數，輸入 n ，求斐波那契（Fibonacci）數列的第 n 項。斐波那契數列的定義如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契數列由 0 和 1 開始，之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果爲：1000000008，請返回 1。

 

示例 1：

輸入：n = 2
輸出：1
示例 2：

輸入：n = 5
輸出：5
 

提示：

0 <= n <= 100

解法

樸素的解法就不寫了，小學生都會TAT , 這裏給出矩陣快速冪的解法

首先給出斐波那契數列定義

將 用矩陣表示則有 

而 有着同樣的表示方法，則遞推得到

而 可以用矩陣快速冪算出來，這裏不再贅述矩陣乘法以及快速冪了， 則我們可以用 的時間計算出來，注意這裏我們將2階矩陣的乘法當作常數纔可以得到這個結論。

代碼

class Solution {
public:
    const long long mod = 1000000007;
    vector<vector<int>> mat_mul(vector<vector<int>> a, vector<vector<int>> b)
    {
        int ra = a.size(), ca = a[0].size(), rb = b.size(), cb = b[0].size();
        vector<vector<int> > res(ra, vector<int>(cb, 0)); 
        for (int k=0; k<ca; k++)
        for (int i=0; i<ra; i++)
        for (int j=0; j<cb; j++)
        {
            res[i][j] += ((a[i][k]%mod)*(b[k][j]%mod))%mod;
        }
        return res;
    }

    vector<vector<int>> quick_mat_pow(vector<vector<int>> a, int n)
    {
        vector<vector<int>> res = {{1, 0},{0, 1}};
        vector<vector<int>> p = a;
        int t = n;
        for (; t>0; t>>=1)
        {
            if (t&1) res = mat_mul(res, p);
            p = mat_mul(p, p);
        }
        return res;
    }

    int fib(int n) {
        vector<vector<int>> f = {{1}, {0}};
        if (n<2) {
           if (n==0) return 0;
           else return 1;
        }
        vector<vector<int>> base = {{1,1},{1,0}};
        return mat_mul(quick_mat_pow(base, n-1), f)[0][0];
    }
};

最後想說;

我的源碼都整理在了github上，劍指offer專題會分類整理（如樹專題，DP專題，模擬專題，搜索專題等），github鏈接見下文，如果對您有幫助，請幫忙在github中star，這對我很重要！！！！ 拜託拜託~！！

github鏈接： https://github.com/wjlpku/Leetcode-interview