Leetcode-剑指offer-斐波那契数列-矩阵快速幂实现

前情

本文内容首先需要了解快速幂的实现原理，详情见 pow(x, n)快速幂实现

题目

leetcode链接： https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/

题目描述：

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
示例 2：

输入：n = 5
输出：5
 

提示：

0 <= n <= 100

解法

朴素的解法就不写了，小学生都会TAT , 这里给出矩阵快速幂的解法

首先给出斐波那契数列定义

将 用矩阵表示则有 

而 有着同样的表示方法，则递推得到

而 可以用矩阵快速幂算出来，这里不再赘述矩阵乘法以及快速幂了， 则我们可以用 的时间计算出来，注意这里我们将2阶矩阵的乘法当作常数才可以得到这个结论。

代码

class Solution {
public:
    const long long mod = 1000000007;
    vector<vector<int>> mat_mul(vector<vector<int>> a, vector<vector<int>> b)
    {
        int ra = a.size(), ca = a[0].size(), rb = b.size(), cb = b[0].size();
        vector<vector<int> > res(ra, vector<int>(cb, 0)); 
        for (int k=0; k<ca; k++)
        for (int i=0; i<ra; i++)
        for (int j=0; j<cb; j++)
        {
            res[i][j] += ((a[i][k]%mod)*(b[k][j]%mod))%mod;
        }
        return res;
    }

    vector<vector<int>> quick_mat_pow(vector<vector<int>> a, int n)
    {
        vector<vector<int>> res = {{1, 0},{0, 1}};
        vector<vector<int>> p = a;
        int t = n;
        for (; t>0; t>>=1)
        {
            if (t&1) res = mat_mul(res, p);
            p = mat_mul(p, p);
        }
        return res;
    }

    int fib(int n) {
        vector<vector<int>> f = {{1}, {0}};
        if (n<2) {
           if (n==0) return 0;
           else return 1;
        }
        vector<vector<int>> base = {{1,1},{1,0}};
        return mat_mul(quick_mat_pow(base, n-1), f)[0][0];
    }
};

最后想说;

我的源码都整理在了github上，剑指offer专题会分类整理（如树专题，DP专题，模拟专题，搜索专题等），github链接见下文，如果对您有帮助，请帮忙在github中star，这对我很重要！！！！ 拜托拜托~！！

github链接： https://github.com/wjlpku/Leetcode-interview