NOIP2017提高組 小凱的疑惑 結論證明

這題的結論是$a*b-a-b$，但是我之前一直不理解爲什麼，於是現在來證明（玩）一下。
條件：$gcd(a,b)=1$
先用比較通俗的語言講解一下我的思路。
不妨假設$a<b$
我們固定着先不用a，然後只用b。
那就可以跳到$b,2b,3b···$這些位置上。（也就是可以支付這些值的意思）
假設當前跳了$t$步，我們記$tb$與在$tb$左邊且最近的$a$的倍數的距離爲$dis_t$，不難想象，每跳一步，$dis$的值就會發生一定的改變。如果所有的$dis$能夠覆蓋$0,,1,2,···a-1$，那麼我們就可以利用這些dis對應的起點，加上若干個$a$，從而實現從某個點開始，後面所有的點都可以被跳到。
那我們就要看一下$dis$到底可不可以覆蓋所有的這$a$個值呢？（其中0其實可以不必被覆蓋到），答案是可以的。譬如說$a=5,b=7$，那麼

1. $dis_1$=2
2. $dis_2$=4
3. $dis_3$=1
4. $dis_4$=3
5. $dis_5$=0

發現當跳4次的時候$dis$就已經覆蓋了所有的4個值（0可以不管）。
事實上，只要$a,b$互質，那麼$b,2b,3b···,(a-1)b,ab$，這$a$個數對應的$dis$就互不相同，其實這個$dis$也就是對$a$取餘後的數。也就是說$a$個餘數各不相同，構成了$a$的一個完全剩餘系。不過可以去掉0，所以跳$a-1$次就夠了。這個結用反證法很容易可以證明。
接下來由於我表達能力不足可能說不太清楚。
最後一個被跳到的就是$(a-1)b$，那從它開始後面的肯定全部都可以被跳到了。譬如$(a-1)b+1$可以由之前某個滿足$dis_{?}=dis_{a-1}+1$的步數加上若干個$a$獲得。
不過$(a-1)b$前面實際上也還有一串連續的數可以被跳到，譬如$(a-1)b-1$可以由之前某個滿足$dis_{?}=dis_{a-1}-1$的步數加上若干個$a$獲得。所以最後一個不能被跳到的數是$a*b-a-b$

之後再用形式化的數論語言把證明過程寫一遍。
aswl，寫Markdown和LaTeX好累啊。