數據結構學習筆記（緒論一）

緒論一

Programs= Algorithms+Data Structus

算法分析

一個好的算法：運算速度儘可能快，存儲空間儘可能少。
算法分析：
a. 正確性；
b. 成本（時間+空間） 時間成本—>基本操作次數

Turning Machine（圖靈機模型）
Random Access Machine（RAM）

Big-O-notation

複雜度分析：

a .迭代：技術求和；
b. 遞歸：遞歸跟蹤+遞歸方程，猜測+驗證。

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遞歸和迭代的區別
遞歸：函數自己調用自己，相當於自頂向下，減而治之。

使用遞歸要注意的有兩點：
1）遞歸就是在過程或函數裏面調用自身；
2）在使用遞歸時，必須有一個明確的遞歸結束條件，稱爲遞歸出口。

遞歸分爲兩個階段：
1）遞推：把複雜的問題的求解推到比原問題簡單一些的問題的求解；
2）迴歸：當獲得最簡單的情況後，逐步返回，依次得到複雜的解。

遞歸可以極大簡化代碼，可讀性高，但由於遞歸需要系統堆棧，所以空間消耗要比非遞歸代碼要大很多，而且，如果遞歸深度太大，可能系統資源會不夠用。在求解斐波那契數列問題中就能充分體現，當求解超過45項就回變得非常慢。遞歸過程中多次重複構造已有的實例，造成資源的額外開銷。

迭代：利用已有的值不斷迭代出新值，相當於自下而上，分而治之。
迭代效率高，沒有額外開銷，但是不容易理解，不如遞歸好理解，編寫複雜問題困難。

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不同級數的複雜度

T(n)=1+2+3+...+n=O(n2)
T2(n)=12+22+32+...+n2=O(n3)
T3(n)=13+23+33+...+n3=O(n4)
……
幾何級數：Ta(n)=a0+a1+a2+a3+...+an=O(an) 複雜度與末項同階。
收斂級數：T(n)=O(1)
調和級數：T(n)=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=O(logn)
對數級數：T(n)=log1+log2+log3+...+log(n)=log(n!)=O(nlogn)

對於兩層循環：

for(i=0;i<n;i++）
    for(j=0;j<i;j++){
        ......
    }

複雜度爲O(n2)
將i和j作爲橫縱座標，複雜度即可視爲爲矩形面積。（當i或者j的上限變化時，複雜度雖然可視爲爲三角形面積，但是依然是O(n2) ）。

時間概念:
1天≈105sec
1生≈1世紀≈3∗109sec
三生三世≈1010sec
宇宙大爆炸至今≈150∗108年≈1021sec

例如 :全國人口普查並排序，人口總數 n≈109 ,在不同硬件和軟件條件下估算比較計算時間。

軟硬件	普通PC機 頻率1GHz 運算速度 109flops	天河一號 1PHz 1015flops
Bubblesort (109)2=1018	109sec≈30年	103sec≈20分鍾
Mergesort 109∗log(109)=30∗109	30sec	0.03ms

上表可以看出算法的不同，在處理大型問題的時候的差距明顯。