【競賽02-a】【題解】第十二屆電工杯全國大學生數學建模大賽B題

賽題：
[第十二屆電工杯全國大學生數學建模大賽B題]

露天停車場停車位優化設計問題的研究

摘要

本文針對露天停車場停車位優化問題，考慮不同類型停車場中，在確保車輛進出自由的情況下，綜合考慮停車場地、消防等各方面限制因素，以提高停車場空間利用率，使停車場獲得較大停車能力爲目標，建立停車場車輛停放優化模型，得到停車場設計方案及平面示意圖，並檢驗了模型的實用性和算法的有效性。

• 對於問題一，在規定車輛出入口的情況下，對無障礙物停車場中汽車停放方式及位置進行規劃。對汽車的停放角度進行假設，利用幾何關係將其餘量表示爲和停放角度有關的函數關係式。以停車場停放車輛總數爲目標函數，以停放角度、通道數及車輛停放排數等爲約束條件，進行非線性整數規劃，建立停車場車輛停放優化模型，並利用LINGO進行求解。對採用垂直式和斜列式兩種不同停車方式，該停車場所對應的空間利用率及車輛容納量進行比對，結合實際情況中對停車場車位設計的限制因素，進行局部調整優化，最終得到最優停車場設計方案爲：該停車場共停車3排，第一二排爲垂直式停車，每排停車總數爲31輛；通道數兩條，通道寬度5.5m。第三排爲斜列式停車，傾角爲29°，每排14輛，停車總數爲76輛。
• 對於問題二，在規定車輛出入口的情況下，對大型商場周邊停車場進行車輛停放規劃。經過前期分析及資料查閱，歸納該停車場的特點與限制條件。在保證車輛自由進出及停車場車輛停放容納量最大的前提下，綜合考慮消防設施安置位置、預留消防通道等現實因素。對停車場用車道中心線進行區域以最小單元格分割法爲原則進行劃分，將消防設施視作障礙物，把停車場劃分爲四個區域。針對每一區域建立停車場車輛停放優化模型，考慮其餘消防限制因素進行不斷調整優化，最終規劃停車場總停車數量爲791輛，並輸出停車場設計方案與平面設計圖。
• 對於問題三，由於該停車場爲出入口並未限定，基於問題二的模型與結果，建立基於二維元胞自動機理論的車輛移動仿真模型，以此來確定出入口的最優位置。將移動的元胞代表一個車輛，採用摩爾型鄰居形式，模擬多出口停車場車輛進行出入的過程。通過設置不同出口位置，比較所有車輛的平均離開時間，最終得到最佳的出口位置爲：停車場下方邊界的左右兩側；入口位置爲：停車場上下邊界的中點處。以此能保證在停車位數量儘可能多的前提下，提高車輛移動的效率。

關鍵詞：整數規劃 停車場車輛停放優化模型 最小單元分割法 二維元胞自動機理論

1 問題1：停車場停放車輛的優化問題

對於問題一，我們的思路很簡單，就是建立一個車輛的倒車的模型，使得在車輛倒車不碰撞的情況下，每一排能夠有儘可能多的車輛。

step1：建立車輛倒車模型：

根據題意，家用小轎車的轉彎半徑爲5.5m,垂直停放時所需長度爲5.5m，寬度爲2.5m。當停車場長度爲A，寬度爲B時，設車輛以α角度進入停車位，該車位長度爲L，寬度爲W，末端距離爲d。（1）如圖所示，此時可求得通道寬度爲：[1]
$R=5.5-2.4cosα$

當車輛以角α停放時，如圖所示，分別可以求得L、W、d關於α的幾何關係式：
$W=2.5/sinα\\ L=5.5sinα+2.5cosα\\ d=5.5cosα+2.5cotαcosα$
設停車場中的通道數量爲n，停車排數爲m，每排車總數爲x_i (i=1,2…m)，則停車場中車輛總數N爲:

由此，我們的目標函數就確定了：
$Object:\ max \ N$

約束條件：由於m排所有車位長度與通道寬度之和不應超過該停車場寬度，則
$B=nR+mL$

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step2:Lingo 求解代碼如下：

問題1
model:
m=2*n;
n>0;!通道個數;
m>0;!停車位排數;

r=5.5-2.4*@cos(a);!通道寬度;
l=5.5*@sin(a)+2.5*@cos(a);!單個車位長度;
ld=5*@cos(a)-2.2*@cos(a)*@cos(a)/@sin(a);
n*r+m*l=26.5;!總寬度等於26.5;
@gin(n);!對通道排數進行整數約束;
x=(79-5.5*@cos(a)-(2.5*@cos(a)*@cos(a))/@sin(a))*@sin(a)/1.25;!每一停車排的車輛數;
max=x*n;
End

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求解的結果爲混合式停放方式（斜列+垂直結合）結果會較好，停放的數量較多,約能停放76輛：

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問題2：考慮消防和出入口位置的設計

對於問題2，本博文不做詳細的解釋，主要的思想步驟是：

• step1：查閱停車場消防相關國家標準：如車輛之間的距離，消防通道的距離，回車場的位置以及佔地面積等。
• step2：根據相關標準，對題給的地圖進行區域的劃分，在保證標準的情況下，儘可能的劃出完整的區域。如圖所示：

• step3：在每一個區域內，根據問題一所建立的模型,對區域進行車輛拜訪的求解。另外注意各個區域之間的連通問題即可。【2】【3】

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問題二程序實例：

停車區域Ⅰ
model:
m=2*n;
n>0;!通道個數;
m>0;!停車位排數;

r=5.5-2.4*@cos(a);!通道寬度;
l=5.5*@sin(a)+2.5*@cos(a);!單個車位長度;
ld=5*@cos(a)-2.2*@cos(a)*@cos(a)/@sin(a);
n*r+m*l=249;!總寬度等於249;
@gin(n);!對通道排數進行整數約束;
x=((43-15.5)-ld)/(2.5/@sin(a));!每一停車排的車輛數;
max=x*n;

end

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問題三：

問題三主要難以理解的核心就是元胞自動機的概念，這部分的概念我想開一篇新的博文來介紹。作爲一個獨立的模塊。
【競賽02-b】元胞自動機

參考文獻

[1] 宋作忠, 何文章. 基於遺傳算法的交易中心停車場優化設計[J]. 數學的實踐與認識, 2004, 34(1):19-23.
[2] 高新濤, 陳麗. 基於優化模型的停車場規劃設計分析[J]. 河南科技, 2015(18):68-71.
[3] 徐涵喆，陳華，蔡豔超，劉曉．基於貪婪算法的地下停車場車位佈局設計 [J/OL]．工業工程與管理.