線性代數06 矩陣的逆以及求法

我們已經瞭解了對於方程組來說，如何根據他的係數矩陣的變化，來實現高斯-諾爾當消元算法，並可以快速的判斷方程組的解的情況。這樣看上去非常的完美，但是我們在線性代數中，還有一個非常重要的部分就是矩陣的運算，似乎除了初等變換以外，現在目前還對任何的求解線性方程沒有幫助。現在我想要探討一下矩陣的逆。以及逆矩陣的求法，看看它有什麼用把！

1 逆矩陣

對於任何一個矩陣A來說，若存在一個矩陣B，使得：$A*B=I$
那我們稱這個矩陣B爲矩陣A的逆矩陣，通常我們記作$A^{-1}$
因此對於一個線性方程Ax=b來說，我們可以做以下的變換：
$A^{-1}Ax=A^{-1}b\\ Ix=A^{-1}b\\x=A^{-1}b$
由以上式子，我們可以知道，若我們能夠求的係數矩陣的逆矩陣，那麼我們就可以通過矩陣乘法來求解x。

2 求法

（1）初等變換求矩陣的逆（通用解法）

原理：
對於矩陣A來說，若存在一個矩陣E，使得以下式子成立：
$E*A=I$
那麼對於矩陣E來說，一定可以將矩陣E分解成若干個代表了一次初等變換的初等矩陣，這些初等矩陣的作用，就是將原來的矩陣A經過若干次初等變換，變成了單位矩陣：
$E=E_{1}E_{2}......E_{n}$
根據逆矩陣的定義，我們很容易知道以下式子的成立：
$E=A^{-1}$
我們此時不妨假設有以下操作同時進行：
$操作1：E_{1}*E_{2}......*E_{n}*A=I\\操作2：E_{1}*E_{2}......*E_{n}*I=A^{-1}$
因此，我們若是要求逆矩陣，我們只需要將把A變成單位矩陣的初等矩陣找出來，就可以知道逆矩陣。對於這個初等矩陣，我們完全可以間接的通過在單位陣上的變化來體現。
可以認爲，我們想要的是使得A發現了變化的東西，而單位陣是一壺清水，任何變化作用於單位陣，得到的結果是變化本身。所以通過以下變換，我們可以求得A的逆矩陣：
$[A|I]=[I|A^{-1}]$
我們所要做的就是將此矩陣的A部分變爲單位矩陣即可。

（2）伴隨矩陣求逆

對於矩陣A來說，如果設它的代數餘子式爲$C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3}.....C_{n,n}$
我們可以將這些代數餘子式也組成一個矩陣：
$A^{*}=\left\{\begin{matrix} C_{1,1} & C_{1,2} & ...&C_{1,n} \\ C_{2,1} &C_{2,2} & ... &...\\ ...&...&...&...\\ C_{n,1}& C_{n,2}&... & C_{n,n} \end{matrix} \right\}$
我們稱這個矩陣爲伴隨矩陣。不妨將伴隨矩陣與原矩陣A相乘，看看能得到什麼：
$A*A^{*}=\left\{\begin{matrix} |A| & 0 & ...&0 \\ 0 &|A| & ... &...\\ ...&...&...&...\\ 0& 0&... &|A| \end{matrix} \right\}=|A|I=|A|$
原理來自於矩陣的代數餘子式的定義以及性質，這裏簡單提一下：
（1）n階行列式|A|等於它的第i行元素與自己的代數餘子式的乘積
（2）n階行列式|A|的第i行元素和第k行（k≠i）的元素的代數餘子式的乘積之和等於0
以上可以小結爲一行元素與自己對應的代數餘子式的乘積之和等於行列式，而與別人對應的代數餘子式的乘積之和就等於0.

所以我們可以得到：
$AA^{*}=|A|\\A^{-1}AA^{*}=A^{-1}|A|\\\frac{A^{*}}{|A|}=A^{-1}$

這樣一來，矩陣A的逆就可以通過矩陣A的伴隨矩陣來求得。但是要說明的是，這種伴隨矩陣求逆的方法，只適合簡單的低階的矩陣的求逆，並且必須是方陣。

（3）其他方法

其他方法例如使用定義求解，或者使用分塊矩陣求解，有一些小的技巧在其中，就不再這裏進行過多的說明了。

3 概念定義

代數餘子式
伴隨矩陣