線性代數07 克拉默法則（Cramer）

至此爲止我們已經掌握了一些關於線性方程組的解的線性代數內的內容，在開始這一章的博客之前，我先來個小結：
①利用係數矩陣的秩來判斷解的情況
②利用係數矩陣的行列式來判斷解的情況
③齊次/非齊次線性方程組的通解求解方法
④矩陣的逆與方程的解的關係，並給出了矩陣的逆的求法

1 克拉默法則

（1）適用條件：只適用於n個方程，n個未知量，且具有唯一解的情況（因爲要使用到係數矩陣的行列式，且行列式|A|≠0）

（2）克拉默法則的內容：

對於一個n個方程，n個未知量，且具有唯一解的線性方程組來說，它的唯一解是：
$X=(\frac{|B_{1}|}{|A},\frac{|B_{2}|}{|A},......,\frac{|B_{n}|}{|A},)^{T}$
解釋：

• 其中的|A|指的是方程Ax=b的係數矩陣的行列式|A|
• 而|B|指的是用常數項替換了係數矩陣的某一列後的矩陣的行列式，例如：對於下面這個方程組來說
  

根據克拉默法則，有以下等式：
$|A|=\left |\begin{array}{cccc} 2 &-1 \\ -1 &2 \\ \end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{1}|=\left |\begin{array}{cccc} 0 &-1 \\ 3 &2 \\ \end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{2}|=\left |\begin{array}{cccc} 2 &0 \\ -1 &3 \\ \end{array}\right|=6$
可以看到，其實所謂的|B|，就是對應下標所在列被常數項替換後的行列式的結果。
對以上三個行列式進行克拉默法則可以得到解等於
$x=\frac{|B_{1}|}{|A}=1;\ y=\frac{|B_{2}|}{|A}=2$
代入原方程可以發現克拉默法則的正確性。

2 總結

這就是克拉默法則的內容，克拉默法則的一個非常大的優點就是我們可以用代數公式來表示n個方程，n個未知量，且具有唯一解的線性方程組的解。（我們之前所有的解都是公式的形式），雖然在具體的計算中，我們很少使用克拉默法則來計算方程的解，但是我們仍然認爲克拉默法則有非常大的意義。
鏈接：克拉默法則