線性代數08 矩陣的相似與矩陣的冪（相似對角化）

從本節開始，就不再關注線性方程組的解的結果或者具體的解如何求出。而是開始轉而去關注矩陣的一些性質和拓展內容，這一節我將會介紹矩陣相似的概念。以及這個矩陣的相似的意義。

先觀察以下公式：
若存在可逆矩陣P，使得一個關於矩陣A的等式如下成立：
$A=(PDP^{-1})$
我們稱符合這樣關係的的矩陣A與D是相似的記作A~D
則A的冪可以通過求矩陣D的冪求得
$A^{m}=(PDP^{-1})^{m}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})(PDP^{-1}).....(PDP^{-1})=(PD^{m}P)$

因此，對於矩陣A的冪的求解，就轉化爲了對一個A的相似矩陣D的求解。若我們能夠得出D是一個很簡單的矩陣，例如對角矩陣，那麼是不是就可以很簡單的計算A的冪值呢？答案是肯定的。

2 相似對角化

剛剛說到，能夠通過等式
$A=(PDP^{-1})$
找到可逆矩陣P，使得這個等式對於矩陣A和對角矩陣D成立就好了。這樣一來，我們的問題就變成了，如何去找到一個這樣的可逆矩陣P，使得經過以上等式成立呢，但是在找到這個可逆矩陣之前，我們必須要確定，矩陣A是可以進行對角化的（這個過程可以看成，我們需要找到一條路去對角化A，但是我們必須先確定這條路是存在的）
下面證明：
若存在：
$D=(P^{-1}AP)\\=>PD=AP\\=>A(a_{1},a_{2}.....a_{n})=(a_{1},a_{2}.....a_{n})D\\=>(Aa_{1},Aa_{2}.....Aa_{n})=(\lambda_{1}a_{1},\lambda_{2}a_{2}.....\lambda_{n}a_{n}) \\ \ \\其中\lambda 是對角矩陣對角線上的常數項。$
這樣一來，若要使得上述等式成立，則若能夠有n個這樣的線性無關的列向量
$(a_{1},a_{2}.....a_{n})$
使得：
$Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i}$
成立。
所以我們可以得出結論，若n階矩陣A能夠相似於對角矩陣D的充要條件就是：存在n個線性無關的列向量，以及存在n個數，使得$Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i}$
成立。