矩陣實驗：圖形圖像處理

 

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矩陣

在線性代數裏，用的最多的概念是【矩陣】。

一個具體的矩陣：

一個抽象的矩陣：

矩陣，是把數字按照橫豎排起來。

• 您看上圖，前一個是 $3$ 行 $5$ 列 ($3*5$)，後一個是 $3$ 行 $4$ 列 ($3*4$)。

 
來源：向量的擴展，向量是橫着的一排數字，每個數字代表一個維度的分量。

• 比方說，學生的考試科目，是有 $N$ 個維度。

  那在年紀成績評比時，通常是按所有維度算的 -> $V1 = (語文、數學、英語、理科、文科)$

  而評比單科王是按一個維度算的 -> $V2 = (語文 ~或~ 數學 ~或~ 英語~ 或...)$

  還有一些可能只是按基礎算 -> $V3 = (語文、數學、英語)$

  $V3 = (8, 9, 7)$，可以用來計算和某個候選人的相似性。

  每一個評比的要求都是一個向量，而又有這麼多評比，所以就有了 $V1、V2、......、Vn$。

  這麼多向量如果把它們放在一起，該怎麼排列呢？

  
  如同所示，這種把向量按照橫豎排起來的擺放方式，是很自然的結果，只不過數學家給它取了一個名字：矩陣，並且發現了一系列相應的計算。

所以說，矩陣就是把向量按照橫豎排起來的擺放方式而得來的，矩陣不是原因，而是結果，矩陣產生的原因就是向量的擴展。

 

作用，是將以前的單個計算（倆個元素的加減乘除）變成了批處理（倆個矩陣的加減乘除）。

如：

• 倆個元素之間的計算：$3 * 4 = 12$
• 倆個矩陣之間的批處理：$\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 3 &4 &6 \\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ 5 &6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*1 &3*2 \\ 2*3 &4*4 \\ 5*5 &6*6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &6 \\ 6 &16 \\ 25 &36 \end{pmatrix}$

正是這種計算方式，將以前的單個計算（倆個元素的加減乘除）變成了批處理（倆個矩陣的加減乘除）。

這種批處理的計算，與計算機搭配起來，簡直是絕配 — 所以，線性代數對於我們來說，生活和工作都能用上。

 
運算：矩陣加法、矩陣數乘、矩陣乘法。

• 矩陣加法：$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1& 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 &4 \\ 5&6 &7 \end{bmatrix}$，前提是倆個相加的矩陣的行列相同
   

• 矩陣數乘：$n*\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n & 2n &3n \\ 4n&5n &6n \end{bmatrix}$
   

• 矩陣乘法：$\begin{bmatrix} 1 & 2& 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7& 8 & 9\\ 10&11 &12 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 2 & 7\\ 1& 2\\ 3&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*2+2*1+3*3 &1*7+2*2+3*6 \\ 4*2+5*1+6*3 &4*7+5*2+6*6 \\ 7*2+8*1+9*3 &7*7+8*2+9*6 \\ 10*2+11*1+12*3 &10*7+11*2+12*6 \end{bmatrix}$

  第一個矩陣的形狀是 $4*3$，第二個矩陣的形狀是 $3*2$ ，倆倆相乘的矩陣是 $4*2$，中間的 $3$ 被劃掉了 ---- 因此倆個矩陣相乘需要滿足一個條件，乘號前的矩陣的 列數 要等於後面矩陣的 行數。

  矩陣乘法很重要吧，我在編程時經常聽別人說起，況且那時候並沒有學工程數學。

  1. 先確定生成矩陣的尺寸，乘號前的矩陣的 列數 要等於後面矩陣的 行數；
  2. 生成矩陣的第 $i$ 行第 $j$ 列的值爲：前面矩陣第 $i$ 行 和 後面矩陣第 $j$ 列的點乘/內積，就是一一對應，每個數字相乘再相加。

  矩陣乘法就 $3$ 種情況，和數字、和向量、和矩陣 相乘。

• 矩陣卷積(二維)：矩陣$B$ 以某個步長在 矩陣$A$ 表面 滑動加權求和。

  演示一下卷積過程，

  接着矩陣 $B$ 從矩陣 $A$ 的 左上角 準備滑動，如下圖：

  
  黃色區域的元素相乘，得到 $4$ 個 $1$，相加值爲 $4$。

  假設設定的滑動步長爲 $1$ ，開始滑動，新一輪計算，方法相同，如下圖：

  
  繼續滑動，對應位置相乘再求和得到 $4$，如下圖：

  
  繼續滑動，對應位置相乘再求和得到 2，如下圖：

  
  …，最終矩陣卷積生成的矩陣，對比 矩陣$A$ 生成的矩陣小了一圈，如下圖：

  
  矩陣$B$ (小矩陣)，也被稱爲“卷積核”、“濾波器”；矩陣卷積也是卷積神經網絡的原理。
   

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工程應用：圖像平滑

上面所說的矩陣卷積是二維的，因此我們以灰色圖爲例，彩色圖是三維的。

圖片是由很多 $0-255$ 的值排列而成，像素值越大圖片就越亮；

• 如果像素是 $0$，那像素即黑色；
• 如果像素是 $255$，那像素即白色；

而矩陣正好有行、列，我們可以把圖片轉爲矩陣，通過操控矩陣來改變圖片。

圖片平滑：讓一張清晰的圖片變模糊。

因爲圖片的像素值反應了一個圖片的亮度，如果我們把圖片中的像素值和周圍的像素值相似，那整個圖片的色調就差不多，也變模糊了。

而圖片平滑的過程和矩陣卷積的過程是一樣的，最核心的地方就是設計卷積核。

圖像平滑算法：

1. 設計一個卷積核，使得圖像矩陣的每一個像素值儘可能的與周圍的像素值接近，這張圖片每部分就會差不多；
2. 積核尺寸、滑動步長、周邊範圍等超參數設計，以需求而定；
3. 需要考慮一個細節，矩陣卷積生成的矩陣會縮小一圈，圖片也會變小一圈；解決方法是在矩陣A最外圍補一圈零。

# 運行：在命令行輸入 python 當前源文件.py
import numpy as np
from PIL import Image                     # 圖片處理模塊
from scipy import signal

# 1.讀取一張圖片
filename = "./demo.png"
img_rgb = Image.open(filename)
img_rgb.show()

# 2.將彩色圖片轉爲灰度圖
img_gray = img_rgb.convert('L')
img_gray.show()

# 3.將灰度圖轉爲像素矩陣
matrix = np.asarray(img_gray)
print("matrix.shape=", matrix.shape)  

# 4.定義卷積核（均值濾波器）
filter_3x3 = np.array([[ 1/9, 1/9, 1/9 ],
                       [ 1/9, 1/9, 1/9 ],
                       [ 1/9, 1/9, 1/9 ]])

print("filter_3x3=", filter_3x3.shape)      # 採用的 3*3 的過濾器
print(np.around(filter_3x3, decimals=2))   # 打印圖片的像素值

# 5.開始卷積（圖像平滑）
result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
print("result.shape=", result.shape)
print(np.around(result, decimals=0))

# 6.把像素矩陣轉回圖片
img_rlt = Image.fromarray(result)
img_rlt.show()

讀取的圖片 demo.png：

簡單起見，轉爲黑白圖片（二維）：

調用圖像平滑算法：

有些模糊了，但 $3x3$ 可能不太明顯，可以改爲 $7x7$ 看看（會更模糊）。

• filter_3x3 改爲 filter_7x7

# 7x7的，均值是 1/49
filter_7x7 = np.ones((7,7)) / (7*7)

除此之外，卷積核還可以改進，一般採用高斯分佈(在保留細節方面，圖片平滑效果最好)，因此也稱爲 “高斯濾波器”。

二維高斯分佈：

在 $3*3$ 的 矩陣$B$ 中，也就是卷積核的權重不要全設置爲相同的數；濾波器的設計應該隨中心逐層遞減。

# 7x7 高斯濾波器
gaussian_filter_7x7 = np.array([  [ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067],
                                  [ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],
                                  [ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],
                                  [ 0.00038771, 0.01330373, 0.11098164, 0.22508352, 0.11098164, 0.01330373, 0.00038771],
                                  [ 0.00019117, 0.00655965, 0.05472157, 0.11098164, 0.05472157, 0.00655965, 0.00019117],
                                  [ 0.00002292, 0.00078633, 0.00655965, 0.01330373, 0.00655965, 0.00078633, 0.00002292],
                                  [ 0.00000067, 0.00002292, 0.00019117, 0.00038771, 0.00019117, 0.00002292, 0.00000067] ])
								  # 調用的時候，將 filter_3x3 改爲 gaussian_filter_7x7。

除此之外，還可以實現圖片的邊緣檢測(應用在自動駕駛的車道檢測、計算機視覺基礎等等)。

# 第 4 步，定義卷積核改爲定義算子
sobel = np.array([[ -1, -2, -1 ],                        
                  [  0,  0,  0 ],
                  [  1,  2,  1 ]]) 

# 調用語句 result = signal.convolve2d(matrix, filter_3x3, mode='same')
result = signal.convolve2d(matrix, sobel, mode='same')

左邊是原圖，右邊是效果圖（邊緣檢測算法）：

 

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看待矩陣的四種視角：數據、系統、變換、空間

學線代時，可能比較注重具體的計算，但學完了卻發現對線代的理解還是不夠深刻。

一個可能的原因是，沒有特別深刻的理解，我們在代數中的這些符號，比如說 矩陣$A$，這個 矩陣$A$ 到底表示什麼？

代數，是用字母代表數，但我們到底代表的是哪些數…在更加抽象的數學裏，我們的代數代表的不僅僅是數，而是一個對象。

那麼，代表的這個對象是什麼？

這個就是我們要明確的。

看待矩陣的四種視角：

• 數據：把矩陣看成數據，$n$行$m$列，每一行代表一個樣本，每一列代表一個特徵，多用於數據科學；
• 系統：把矩陣看成線性系統（中學的多元一次方程組），那求解那些線性方程組就可以用矩陣運算，多用於計算線性代數的線性方程組；
• 變換：把矩陣看成對向量的一個函數，或者說是一種變換，因爲一個矩陣和一個向量相乘，得到結果依然是向量，可以把矩陣看成輸入一個向量，輸出一個向量的函數，多用於圖形學的圖像圖形的變化；
• 空間：把矩陣看成一個空間，這樣看一個矩陣乘一個向量，就是向量在矩陣所表示的空間中所對應的位置是哪裏，多用於線性代數的向量空間。

 

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線性變換

矩陣可不僅僅是隻能處理圖片的數字表格，試着換一種角度看矩陣：變換。

• 矩陣乘法：$A*B=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix}$，畫在幾何。

$向量B$(紅色) 經過 $矩陣A$ 得到 另一個向量(綠色)，$矩陣A$ 如同一個函數，一個向量輸入進去，會輸出另一個向量。

只不過，在線性代數裏，我們稱 $矩陣A$ 爲一種變換，即把一個向量(或矩陣)變成另一個變量(或矩陣)。

若我們把矩陣看做一個變換，圖形變換就會十分方便。

圖形變換：圖形的縮放、旋轉、仿射等等，也用於遊戲開發、動漫製作等等。

 

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工程應用：圖形變化

或許您應該有一個疑問，矩陣，是怎樣實現圖形變換的 ？？？

圖形的變化：

• 圖形旋轉
• 圖形平移
• 圖形放大
• 圖形縮小
• 圖形翻轉
• 圖形剪切（正體 變斜體）
• … …

比如，這個是怎麼做到的：

經過旋轉：

先考慮一個小問題吧，怎麼使得一個圖形繞 $y$ 軸左右翻轉 ？

其實，黃色的梯形是由 $4$ 個點組成，經歷 $4$ 個點的座標，也就是 $4$ 個列向量。

首先，我們讓 $(x_{1},y_{1})$ 翻轉，翻轉後也就是 $(-x_{1},y_{1})$。

現在我們改爲以矩陣的形式翻轉：$A*\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}$

我們需要做的就是找到一個能使其轉換完成的 $矩陣A$，因爲輸入的矩陣和輸出的矩陣都是同行同列(2行, 1列)，根據矩陣乘法的要求，$矩陣A$ 就必須是 2行, 2列。

得到一個式子：

• 令 $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$ 則有：$\begin{cases} ax_{1} +by_{1}&= -x_{1}\\ cx_{1}+dy_{1}&= y_{1} \end{cases}$

我們確定好 $a,b,c,d$ 四個係數的值，通過比對等式倆邊的係數即可，

• 因爲 $-x_{1} = ax_{1}$ ，推出 $a = -1, ~b=0$；
• 因爲 $y_{1}=dy_{1}$， 推出 $c=0,~d=1$；

所以，矩陣 $A =\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$。

可這個翻轉計算只是針對 $(x_{1},y_{1})$，爲了提高計算效率（批處理），我們把 $x_{1}\cdots x_{n}$ 的點化爲列向量後，排成一個矩陣。

矩陣$A$ 再和 排成的矩陣 計算即可：

• $\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_{1} & -x_{2} & -x_{3} & -x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}$

以上是圖形的左右翻轉(繞 $y$ 軸)。

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圖形的上下翻轉(繞 $x$ 軸)原理也相同。

• $\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -y_{1} & -y_{2} & -y_{3} & -y_{4} \end{bmatrix}$

 

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線性變換，也可以實現圖形的水平剪切。

剪切：把 正體字 變成 斜體字，就是一個剪切。

圖形的水平剪切如上圖，縱座標不變，橫座標運動。

結合矩陣：$\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+ky\\ y \end{bmatrix}$，有一個控制係數 $k$.

根據矩陣乘法 ，令 $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$ 則有：$\begin{cases} ax+by&= x+ky\\ cx+dy&= y \end{cases}$

通過對比係數，$\begin{bmatrix} 1 &k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+ky \\ y \end{bmatrix}$，當 $k>0$ 時，往右剪切；當 $k<0$ 時，往左剪切。

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圖形的豎直剪切如下圖，縱座標運動，橫座標不變。

 
變換矩陣：$\begin{bmatrix} 1 &k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \\ kx+y \end{bmatrix}$，注意 $k$ 的值，變換的方向不一樣。

 

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完整代碼：

# 運行：在命令行輸入 python 當前源文件.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1.定義變換矩陣A，用於圖形平移(豎直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])

# 1.定義變換矩陣A，用於圖形剪切
# k = -0.8
# A = np.array([[1,0],[k,1]])

# 1.定義變換矩陣A，圖形旋轉
# theta = -(3.14/4)
# A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])

# 1.定義變換矩陣A，圖形整體放大 1 倍
# A = np.array([[2,0],[0,-2]])  

# 1.定義變換矩陣A，圖形整體縮小 0.75 倍
# A = np.array([[0.5,0],[0,0.5]])  

# 2. 定義輸入矩陣（即輸入圖形）
B = np.array([[0, 1, 1, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1]])

# 3. 計算輸出矩陣（矩陣乘法）
Y = np.dot(A,B)

# 4. 繪製圖形
plt.axis([-3,3,-3,3])
plt.axvline(x=0, color='#A9A9A9')
plt.axhline(y=0, color='#A9A9A9')
plt.grid(True)
plt.plot(B[0],B[1],'-yo',lw=2)  # 繪製輸入圖形
plt.plot(Y[0],Y[1],'-go',lw=2)  # 繪製輸入圖形
plt.show()

具體用法，請往下看。

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圖形平移：

• 豎直平移的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}$，水平平移的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$。

# 1.定義變換矩陣A，用於圖形平移(豎直平移)
A = np.array([[1,0],[0,-1]])

 

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圖形剪切：

• 水平剪切的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} 1 &k \\ 0& 1 \end{bmatrix}$，豎直剪切的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ k& 1 \end{bmatrix}$， 會影響方向。

# 1.定義變換矩陣A，用於圖形剪切
k = -0.8
A = np.array([[1,0],[k,1]])

 

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圖形放大：

水平放大的矩陣是：$A = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 2 \end{bmatrix}$，豎直放大的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} 2 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$

# 1.定義變換矩陣A，圖形整體放大 1 倍
A = np.array([[2,0],[0,2]])  

圖形縮小同理。

 

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圖形旋轉：

• 逆時針旋轉的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}(\theta <0)$，順時針旋轉的變換矩陣是：$A = \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}(\theta >0)$。

# 1.定義變換矩陣A，圖形旋轉
theta = -(3.14/4)
A = np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta)],[-np.sin(theta),np.cos(theta)]])

旋轉的角度最複雜，我們可能不太清楚這個角度是怎麼來的。
 

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矩陣變化的推導

我們推導一下，圖形旋轉的變化過程。

推導的前置知識：高中的三角函數。

不一定要每一步都弄明白，但要知道我們可以把矩陣看成一種對向量的變換（函數），這個很重要，理解的越深刻越好。

我們看最簡單的情況，如下圖。

藍色的向量旋轉 $\theta$ 度角得到紅線 ，如果我們設這個變換的矩陣爲 $a,b,c,d$，則有這樣一個式子：

• 令 $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，則有：$\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'} \end{bmatrix}$。

因爲是經過旋轉得到的，因此新的座標和原來的座標一定是有聯繫的，這個聯繫就是角度 $\theta ,~\alpha$。

推導過程：

• 設向量(藍色)的模爲 $L$，由三角關係式得到：$cos(\alpha )=\frac{x}{L}$，即 $L=\frac{x}{cos(\alpha )}$；$sin(\alpha )=\frac{y}{L}$，即 $L = \frac{y}{sin(\alpha )}$。
   
• 向量(紅色)由於僅有旋轉沒有伸縮，因此紅色向量的模依然是 $L$：$cos(\alpha -\theta )=\frac{x^{'}}{L}$，即 $L=\frac{x^{'}}{cos(a-\theta )}$；$sin(a-\theta )=\frac{y^{'}}{L}$，即 $L=\frac{y^{'}}{sin(\alpha -\theta )}$
   
• $x^{'}=\frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }x$, $y^{'}=\frac{sin(\alpha -\theta )}{sin\alpha }y$
   
• $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }x\\ \frac{sin(\alpha -\theta )}{sin\alpha }y \end{bmatrix}$，比對係數確定 $a,~b,~c,~d$
   
• $ax+by=\frac{cos(\alpha -\theta )}{cos\alpha }x=\frac{cos\alpha* cos\theta +sin\alpha sin\theta }{cos\alpha }x=cos\theta *x+tan\alpha *sin\theta *x=cos\theta *x+\frac{y}{x}sin\theta *x=cos\theta *x+sin\theta *y$，一步步化簡得到最後的。
   
• $cx+dy=\frac{sin(a-\theta )}{sin\alpha }y=\frac{sin\alpha~ cos\theta +cos\alpha sin\theta }{sin\alpha }y=-sin\theta *x+cos\theta *y$
   
• $\begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$，這個結果就是變換 矩陣$A$ 呀！！！

圖形旋轉角度就是這麼推導過來的，在《數學女孩 4》的矩陣 — 線性變換一節，裏面就有其TA圖形變換的推導過程。

 

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總結

第一部分，介紹了矩陣、來源、運算，工程應用是矩陣卷積，趁熱打鐵去搞定卷積網絡吧。

第二部分，介紹了看待矩陣的四種視角，我們選的是變換，工程應用是圖形圖像處理。

歸根結底，是函數表示變換。任意函數都是從輸入到輸出的變換。矩陣可以看做是向量的函數：）

這種變換，還可以擴展到三維空間，比如說電視成像、轉播。

電視機成像的原理大概是，通過一把電子槍，把電子打到屏幕上：

不過對於這樣的彩色圖片一把電子槍是不夠的：

可以把這幅圖片以 紅色、綠色、藍色 爲基，分爲三張圖片：

用三把電子槍分別把 紅色$R$、綠色$G$、藍色$B$ 的電子打到屏幕上，來呈現出彩色的畫面：

電視轉播則不同，信號不是以 紅色$R$、綠色$G$、藍色$B$ 的電子傳過來的，而是另一個顏色空間的表示方法。

不是靠三原色 $RGB$ 傳遞，而是通過 $YC_bC_r$、$YP_bP_r$ 傳遞。

• $YC_bC_r$，採用亮度-色差來描述顏色的顏色空間
• $YP_bP_r$ ，模擬視頻中的明度、彩度、同步脈衝分解開來各自傳送的端子。

彩色電視機背後有 $YP_bP_r$、$YC_bC_r$ 接口，完整地插入 $YP_bP_r$ 、$YC_bC_r$ 信號就可以看到彩色圖片了：

• 若是接入 $Y$，可產生黑白圖像；
• 若是再接入 $P_b/C_b$ 、$P_r/C_r$ ，就會產生彩色圖像。

將 $RGB$ 轉換爲 $YP_rP_b$、$YC_bC_r$，這個過程也是矩陣函數的一個實例：

加油：）