線性代數09 特徵值與特徵向量

在上一節我們提出了對於矩陣求冪的運算，關鍵在於找到一個可逆矩陣P，使得A可以化成對角矩陣D。而這個逆矩陣能否找到，就在於能不能找到n個線性無關的向量滿足：$Aa_{i}=\lambda_{i}a_{i}$

對於這個式子，我們引入了一個專門的概念來求解這其中的λ和列向量。

1 特徵值與特徵向量

如果對於矩陣A來說，有非零列向量使得：
$Aa=\lambda_{0}a \\ \ \\ 那麼我們稱\lambda_{0}是A的一個特徵值，列向量a是A的對應於\lambda_{0}的一個特徵向量$

2 特徵值/特徵向量的求法

對公式進行以下變換：
$Aa=\lambda_{0}a \\=>Aa-\lambda_{0}a=0\\=>Aa-\lambda_{0}Ia=0\\=>a(A-\lambda_{0}I)=0$
對以上這個式子來說，要麼a=0，要麼A−λ0I=0.由於我們限定了a不能爲零向量，那麼對於
$(A-\lambda_{0}I)=0\\兩邊同時取行列式|(A-\lambda_{0}I)|=0$
即λ是滿足以上等式的一個解，同時，若我們將λ求出，代入原式，則向量a則是線性方程組：
$(A-\lambda_{0}I)=0$的非零解，且，有多少個特徵值，就有多少個特徵向量。

3 求解實例

3 總結

由特徵值和特徵向量的定義和求解方式，我們可以知道，n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵向量。此時我們要找的可逆矩陣P符合：
$P=[a_{1},a_{2}.....a_{n}]$
所以也有：
$P^{-1}AP=diag\{\lambda_{1},\lambda_{2}.....\lambda_{n}\}$