線性系統
消元法
高斯消元法
高斯-約旦消元法
工程應用：化學方程式配平
逆矩陣求解
矩陣的逆
解的結構
超定方程組近似估值
工程應用：天體軌道參數估計

消元法

線性系統，在高中稱爲 多元一次方程組，因爲在線性代數裏，我們把矩陣看成系統，而這些方程組的未知數都只有一次，所以就了線性系統。

$\left\{\begin{matrix} 1x + 2y = 5 & \\ 3x + 4y = 6 & \end{matrix}\right.$

我們把真實世界的問題，轉換爲線性方程（線性系統），研究線性系統，也就是解這些方程，解出來問題就解決了。

高斯消元法

初中的時候，我們學習了高斯消元法。

高斯消元法主要分爲兩步，

消元：要減少某些方程中元的數量；
回代：是把已知的解代入到方程式中，求出其他未知的解。

如果方程和元的數量很小，那麼高斯消元法並不難理解。

可是如果方程和元的數量很多，整個過程就變得比較繁瑣了。

而後，自然而然人們想到了對計算進行批處理，可以把高斯消元法轉爲矩陣的操作。

比如：

$\left\{\begin{matrix} 1x + 2y + 4z = 7 ~~~~\\ ~3x + 7y + 2z = -11\\ 2x + 3y + 3z = 1~~~~\\ \end{matrix}\right.$

用矩陣表示(矩陣乘法)：

$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix} \right]*\left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 7\\ -11\\ 1 \end{matrix} \right]$

我們再把係數矩陣和等式右邊的矩陣放在一起：

$\left\{ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 &7 \\ 3 & 7 & 2 & -11 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{array} \right\}$

這個矩陣叫【增廣矩陣】，就是在係數矩陣右邊增加了一列等號右邊的解。

通過矩陣解線性方程，本質也是消元法，要做的就是把消元的過程封裝到矩陣裏。

用消元法解方程，因爲操作的是矩陣，所以消元法的書寫方式有點變化：

原【一個方程的左右倆邊同時乘以一個常數】變爲【矩陣的某一行乘以一個常數】
原【一個方程加（或減）另一個方程】變爲【矩陣的一行加（或減）另一行】
原【交換倆個方程的位置】變爲【交換矩陣的倆行】

也就是說，計算方式是完全一致的，只不過操作對象從方程變成了矩陣，因爲矩陣是可以批處理運算的工具。

我快速手算一下：

從上到下，以矩陣的第一行爲基準，消去第二、第三行的第一個元素（係數化爲 $0$ ）

第一步 $(2) - (1)*3$ ，把第二行的第一個元素化成 $0$ ；

第二步 $(3) - (1)*2$ ，把第三行的第一個元素化成 $0$ ；

第三步 $(3)*-1 - (1)$ ，把第三行的第二個元素化成 $0$ ；

第三步後矩陣的第三行是 $\left[\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & -15 & 45\\ \end{array} \right]$ ，而後給第三行左右倆邊同時除以 $-15$ ，最後的結果就是上圖最後一個矩陣。

現在我們知道，最後一個未知數 $z=3$ ，這是消元法的消元部分，接着是回代部分，由下往上回代解出其餘未知數：）。

總結一下，高斯消元法。

消元部分：

從上到下，以矩陣的第一行爲基準，消去第二、第三行的第一個元素（係數化爲 $0$ ），這就代表消去了一個元；

因爲他們都是基於矩陣第一行第一個位置消元的，所以這個位置也被稱爲【主元】。

不僅第一行第一個位置是主元，第二行第二個、第三行第三個、第 $n$ 行第 $n$ 個都是主元。

P.S. 只要在這個位置，任何不爲 0，就可以當主元。如果第一行第一個元素爲 $0$ ，就需要【交換矩陣的倆行】。若第一行主元不爲 $1$ 的元素，先化爲 $1$ ，再運算。

首先就是把這些主元位置的係數化爲 $1$ ，之後其他行就可以使用【矩陣的某一行乘以一個常數】、【矩陣的一行加（或減）另一行】把每行主元左邊的元素化爲 $0$ 。

最後，矩陣會變成一個階梯型的矩陣，比如這樣。

回代部分：

由下往上回代解出其餘未知數，把最後一個未知數代入倒數第二行，得到倒數第二個未知數的解；再把倒數第一、倒數第二的未知數代入到第一個裏面，得到 $3$ 個未知數的解。

高斯消元法實現：

// 運行：命令行輸入 gcc/g++ 當前源文件.c/cpp
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

double **A = NULL, *b = NULL, *x = NULL;
unsigned int RANK = 4;

unsigned int makematrix(){
	unsigned int r, c;

	printf("請輸入矩陣行列數，用空格隔開：");
	scanf("%d %d", &r, &c);

	A = (double**)malloc(sizeof(double*)*r);
	// 創建一個指針數組，把指針數組的地址賦值給a ,*r是乘以r的意思
	
	for (int i = 0; i < r; i++)
		A[i] = (double*)malloc(sizeof(double)*c);
		// 給第二維分配空間
		
	for (int i = 0; i < r; i++) {
		   for (int j = 0; j < c; j++)
			A[i][j] = 0.0;		
	}

	b = (double*)malloc(sizeof(double)*r);
	for (int i = 0; i < r; i++){
		b[i] = 0.0;
	}
	
	x = (double*)malloc(sizeof(double)*c);
	for (int i = 0; i < c; i++){
		x[i] = 0.0;
	}

	return r;
	// 一般都是輸入方陣，返回行數也闊以
}

void getmatrix(void) { 
	// 輸入矩陣並呈現
	printf("\n\n請按行從左到右依次輸入係數矩陣A，不同元素用空格隔開：\n");
	for (int i = 0; i < RANK; i++) {
		for(int j = 0;j<RANK;j++) {
			scanf("%lf", &A[i][j]);
		}
	}
	printf("\n\n係數矩陣如下：\n");
	for (int i = 0; i < RANK; i++) {
		for (int j = 0; j<RANK; j++) {
			printf("%g\t",A[i][j]);
		}
		putchar('\n');
	}
	printf("\n\n請按從上到下依次輸入常數列b，不同元素用空格隔開：\n");
	for (int i= 0; i<RANK; i++) {
		scanf("%lf", &b[i]);
	}
	printf("常數列如下\n");
	for (int i = 0; i<RANK; i++) {
		printf("%g\t", b[i]);
	}
	putchar('\n');
}

void Gauss_calculation(void) { 
	// Gauss消去法解線性方程組
	double get_A = 0.0;
	printf("\n\n利用以上A與b組成的增廣陣進行高斯消去法計算方程組\n");
	
	for (int i = 1; i < RANK; i++) {
		for (int j = i; j<RANK; j++) {
			get_A = A[j][i - 1] / A[i - 1][i - 1];
			b[j] = b[j] - get_A * b[i - 1];
			for (int k = i-1; k < RANK; k++) {
				A[j][k] = A[j][k] - get_A * A[i-1][k];
			}
		}
	}
	
	printf("\n\n順序消元后的上三角係數增廣矩陣如下：\n");
	
	for (int i = 0; i < RANK; i++) {
		for (int j = 0; j<RANK; j++) {
			printf("%g\t", A[i][j]);
		}
		printf("    %g", b[i]);
		putchar('\n');
	}
	printf("\n\n利用回代法求解上三角方程組，解得：\n\n");

	for (int i = 0; i < RANK; i++) {
		double get_x = 0.0;
		for (int j = 0; j < RANK; j++) {
			get_x = get_x + A[RANK-1-i][j]*x[j];
			// 把左邊全部加起來了，下面需要多減去一次Xn*Ann
		}
		
		x[RANK - 1 - i] = (b[RANK - 1 - i] - get_x + A[RANK - 1 - i][RANK - 1 - i] * x[RANK - 1 - i]) / A[RANK - 1 - i][RANK - 1 - i];
	}
	
	for (int i = 0; i < RANK; i++) {
		printf("x%d = %5g\n", i + 1, x[i]);
	}
	
	printf("\n\n計算完成，按回車退出程序或按1重新輸入矩陣\n");
}

int main() {
	RANK = makematrix();
	getmatrix();
	Gauss_calculation();
	
	// P.S. double **A, *b, *x 沒釋放
    return 0;
}

高斯消元法演示：

高斯-約旦消元法

高斯消元法的問題，只能通過矩陣得到最後一個未知數的解，之後還得一直回代依次得到所有結果，那有木有什麼方法一次性把結果搗鼓出來呢？

有呀，高斯-約旦消元法。

回到高斯消元法的消元后，其實我們也可以不用回代，只有把 $-10$ 化爲 $0$ 即可。

我們倒着進行消元即可，初始的消元是從第一行開始，從上往下以第一行的主元爲基準，把主元下面的位置都化爲 $0$ ，現在反過來從最後一行開始，從下往上以最後一行的主元爲基準，把主元上面的位置都化爲 $0$ 。

高斯-約旦消元法：

高斯消元：前向過程，從上到下
約旦消元：後向過程，從下到上

高斯-約旦消元法實現：

// 運行：在命令行輸入 g++ -std=c++11 當前源文件.cpp
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define eps 1e-8

using namespace std;

double a[55][55], ans[55];	// a爲增廣矩陣 
int d;
int gauss_jordan(int n) {								
	int r, w = 0;
	for (int i = 0; i < n && w < n; w++, i++) {							
	// 進行到第i列，第w行 
		int r = w;
		for (int j = w + 1; j < n; j++)
			if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i]))
				r = j;			// 找到當前列絕對值最大的行 
				
		if (fabs(a[r][i]) < eps) {
			w--;
			continue;
		}						// 當前列值都爲0,跨過當前步 
		
		if (r != w)
			for (int j = 0; j <= n; j++)
				swap(a[r][j], a[w][j]);	
				// 交換當前列絕對值最大的行和沒計算過的第一行，使用最大值運算，可減少誤差
				
		for (int k = 0; k < n; k++) {						
		// 消去當前列（除本行外）
			if (k != w)
				for (int j = n; j >= w; j--)
					a[k][j] -= a[k][i] / a[w][i] * a[w][j];
		}
	}
	return w;
}

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);	                // 默認輸入的矩陣是方陣，行數等於列數，但這個限制也不是必須的，可以打破
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j <= n; j++) {  // 因爲解的那一列也一起輸入，所以加了一行
			scanf("%lf", a[i] + j);		// C/C++ 裏其實只有一維數組，a[i] + j = a[i][j]
		}
	}

	d = gauss_jordan(n);
	d--;
	for (int i = 0; i < n; i++) {							
	// 有一個方程 = 右邊不爲0 = 左邊爲0，則無解 		
		bool d = 1;
		for (int j = i; j < n; j++)
			d &= (fabs(a[i][j]) < eps);
		if (d && fabs(a[i][n]) > eps) {
		    putchar('-1');
			return 0;
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {							
	// 消元后有變量在多個方程中出現，則有多個解 
		int max1 = 0;
		for (int j = i; j < n; j++)
			if (fabs(a[i][j]) > eps)
				max1++;
		if (max1 > 1) {
			putchar('0');
			return 0;
		}
	}
	
	for (int i = 0; i < n; i++)
		ans[i] = a[i][n] / a[i][i];
		
    putchar('\n');
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (fabs(ans[i]) < eps)
			printf("x%d = 0\n", i + 1);
		else
			printf("x%d = %5.2lf\n", i + 1, ans[i]);
	}
	return 0;
}

高斯-約旦消元法演示：

工程應用：化學方程式配平

問題描述：給出一個未配平的化學方程式，根據質量守恆定律對其分配，不考慮化合價問題

示例：）

輸入：Cu+HNO3=Cu(NO3)2+NO+H2O（中間不要加入空格）
輸出：3Cu+8HNO3=3Cu(NO3)2+2NO+4H2O

分析：

化學反應遵循質量守恆定律，反應前後的原子種類和數量保持不變，根據這，採用【待定係數法】來配平化學方程式。

具體的操作，給方程式中的每一項設一個待定係數，列出方程組。

比如說，輸入示例方程式，分別設 $C_{u}、HNO_{3}、Cu(NO_{3})2、NO、H_{2}O$ 的係數爲 $x_{1}、x_{2}、x_{3}、x_{4}、x_{5}$ 。

由元素 $C_{u}、H、N、O$ 的守恆，得到方程組：

$\left\{\begin{matrix} x_{1} = x_{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ x_{2} = 2x_{5}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ x_{2} = 2x_{3}+x_{4} ~~~~~~~~~~~\\ 3x_{2} = 6x_{3}+x_{4}+x_{5} \end{matrix}\right.$

但方程組只有 $4$ 個方程，未知數卻有 $5$ 個，無法求出唯一確定的一組解。

因爲化學方程式係數間只是一種比例關係，可令 $x_{5}=1$ ，得：

$\left\{\begin{matrix} x_{1} = \frac{3}{4} \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = \frac{3}{4} \\ x_{4} = \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

各項係數都乘 $4$ ，得到最後的結果。

用計算機實現，應該用矩陣代替，消元法相同只是從操作方程變成了操作矩陣。

此外，還得將化學方程式轉爲線性方程組，難點在於去括號。

// 運行：在命令行輸入 gcc 當前源文件.c
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
const double eps = 1e-10;
int n, m, hash[ 1<<20 ];
double a[ 205 ] [ 205 ];
char z[ 205 ];
int anw, now;

void Swap(double a, double b) {
	double t = a;
	a = b;
	b = t;
}
int get_number( int &i ) {
	int s = 0;
	while( '0' <= z[ i ] && '9' >= z[ i ] )
	     s = ( s << 3 ) + ( s << 1 ) + z[ i ++ ] - '0';
	return s>1? s:1;
}

int get_str( int &i ) {
	if( z[ i ] > 'Z' || z[ i ] < 'A' )
	     return  -1;
	int s = z[ i ++ ];
	while( 'a' <= z[ i ] && z[ i ] <= 'z' )
	      s = s * 10007 + z[ i ++ ];
	return s & ( ( 1<<20 )-1 );
}

void countt( int l, int r, int f) {
	if( l == r ) return;
	int i = l,  j = r;
	while( i < r - 1 && z[ i ] != '(' )
	    i ++;
	while( j > l && z[ j ] != ')' )
	    j --;
	if( z[ i ] == '(' ){
		countt(l, i, f);
		int w = j + 1, s = get_number(w);
		countt(i+1, j, f*s);
		countt(w, r, f);
		return;
	}
	
	for( i = l; i < r; ){
		int str = get_str(i);
		if( ! hash[ str ] )
		    hash[ str ] = ++n;
   	 int hs = hash[ str ];
   	 a[ hs ] [ m ] += f * get_number(i);
	}
}

void init( ){
	printf("化學方程式配平前>>  ");
	scanf("%s",z);
	int l = strlen(z), f = 1;
	z[ l ] = '#';
	for( int i = 0; i < l; ){
		int j = i;
		while( z[ j ] != '+' && z[ j ] != '=' && z[ j ] != '#' )
		    j ++;
		 m ++;
		 countt(i, j, f);
		 if( z[ j ] == '=' )
		      f *= -1;
		      i = j +1;
	}
}

void gs( ){    // 高斯消元
	for( int j = 1, i; j < m; j ++ ){
		for( i = now + 1; fabs(a[ i ] [ j ]) < eps && i <= n; i ++ );
		if( i > n ){
			anw = -1;
			continue;
		}
		now ++;
		for( int k = 1; k <= m; k ++ )
	        Swap(a[i][k], a[now][k]);
		 double ss = a[now][j];
		 for( int k = 1; k <= m; k ++ )
		     a[now][k] /= ss;
		 for( i = 1; i <= n; i ++ )
		     if( fabs(a[i][j]) > eps && i != now ){
		     	double s = a[i][j];
		     	for( int k = 1; k <= m; k ++ )
		     	    a[i][k] -= a[now][k] * s;
		     }
	}
}

int ans[205];
void solve( ){
	for( int i = now+1; i <= n; i ++ )
	    if( fabs(a[i][m])>eps ){
	    	printf("無解\n");
	    	return;
	    }
	    if( anw == -1 ) puts("多組解法");
	    for( int i = 1; i <= 1000; i ++ ){
	    	int p = 1;
	    	for( int j = 1; j < m; j ++ ){
	    		if( fabs(int(a[j][m] * i * -1 + 0.5) - a[j][m] * i * -1) > eps )
	    		p = 0;
	    	}
	    	if( p == 0 ) continue;
	    	for( int j = 1; j < m; j ++ )
	    	    ans[j] = int( a[j][m] * i * -1 + 0.5 );
	    	ans[m] = i;
	    	 printf("化學方程式配平後>>  ");
	    	if( ans[1] != 1 ) printf("%d", ans[1]);
	    	int l = strlen(z), k = 1;
	    	for( int j = 0; j < l-1; j ++ ){
	    		putchar(z[j]);
	    		if( z[j] == '=' || z[j] == '+' )
	    		    printf("%d",ans[++ k]);
	    	}
	    	break;
	    }
}

int main(void){
	init( );
	gs( );
	solve( );
	return 0;
}

逆矩陣求解

求解線性方程組除了消元法之外，逆矩陣也可求解。

在《矩陣實驗：圖形圖像處理》，着重寫了把矩陣看成一種對向量的函數、變換。

上面的方程，從線性系統的角度來看線性方程組的求解過程：

$\begin{bmatrix} 3 &2 &-2 \\ 3& 3 &-1 \\ 2& 2 &-1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4\\ -5\\ ~~4 \end{bmatrix}$

線性系統相當於：

$B~*~?=y$

上面的方程，從線性變換的角度來看線性方程組的求解過程：

$\begin{bmatrix} 3 &2 &-2 \\ 3& 3 &-1 \\ 2& 2 &-1 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} -30\\ ~~21\\ -22\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{bmatrix}$

線性變換相當於；

$B*x=~?$ ，矩陣 $B$ 是變換。

看線性系統，已知變換矩陣 $B$ 、輸出矩陣 $y$ ，求解輸入矩陣 $x$ 。

那求解線性方程組就是一個逆變換的過程；因此，有一個逆矩陣表徵這種變換。

逆矩陣：若 $AB=E$ ，則稱 $A,~B$ 互爲逆矩陣；記作： $B^{-1}=A ~~or~~A^{-1}=B$ 。

如果我們在等式倆邊都乘，式子如下：

$Ex=(AB)x=A(Bx)=B^{-1}(Bx)$

這個式子在幾何上，變換來變換去，最後回到初始狀態：

參照這種思想(矩陣是一種變換的思想)， $B~*~?=y$ 可以用 $x=B^{-1}*y$ 來求！！

求線性方程組就變成了求解某個矩陣的逆矩陣。

現在，唯一要明白的是：逆矩陣怎麼求？

矩陣的逆

除零以外，一個數字乘以這個數字的倒數（逆）等於一：

$x*x^{-1} = 1$

這是在數字系統裏，事實上，矩陣也可以逆：

$AB=BA=I$ ， $I$ 是單位矩陣，相當於數字裏面的 $1$ 。

如果矩陣滿足上述 $等式$ ，則稱 $B$ 是 $A$ 的逆矩陣，記做： $B=A^{-1}$

大部分矩陣都是有逆的：

有逆的矩陣叫 可逆矩陣 or 非奇異矩陣
不可逆的矩陣叫 不可逆矩陣 or 奇異矩陣

因爲矩陣乘法不滿足交換律，所以可逆分成了倆種：

左逆： $BA=I$ ，只有左逆，是不可逆矩陣；
右逆： $AB=I$ ，只有右逆，是不可逆矩陣；

可逆矩陣是同時有左逆和右逆，只有左逆或只有右逆都不叫可逆。

只有方陣可逆（行數 = 列數），因爲對於一個方陣來說，左逆和右逆一定是同時存在的。

本科的線性代數主要研究方陣（除了線性系統）。

矩陣求逆：

# 運行：在命令行裏輸入 python 當前源文件.py
import numpy as np
from scipy import linalg

A = np.array([[1, 35, 0],
              [0, 2, 3],
              [0, 0, 4]])

A_n = linalg.inv(A)
print(A_n)
print(np.dot(A, A_n))

運行結果：

[[  1.    -17.5    13.125]
 [  0.      0.5    -0.375]
 [  0.      0.      0.25 ]]

[[ 1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]

C++ 也有專屬的線代庫 armadillo，因爲有數據類型有精度限制可以用 Boost.Multiprecision，用於科學計算也就很方便。

解的結構

消元法所做的是把一個增廣矩陣變換爲一個階梯型矩陣。

階梯型矩陣：

非零行第一個元素（主元）爲 $1$
主元所在列的其他元素均爲 $0$

滿足這種條件的矩陣，也被稱爲 “行最簡形式”。

線性方程組通過消元法變成行最簡形式，這樣就可以直接判斷方程組解的情況：

適定方程組：方程組有唯一解，理想情況，遇到的情況不多；
超定方程組：方程組無解，無論三個未知數取什麼解，方程始終不能滿足，因此方程組無解；遇到的概率很大；
欠定方程組：方程組有無數解，這種方程組的未知數有無數個解，因此實用價值不大。

一般的判定方法，是通過矩陣的秩來判斷方程組的類型。

欠定方程組（無數解）：係數矩陣的秩 = 增廣矩陣的秩 < 未知數個數；
適定方程組（唯一解）：係數矩陣的秩 = 增廣矩陣的秩 = 未知數個數；
超定方程組（無解）：係數矩陣的秩 $\neq$ 增廣矩陣的秩。

超定方程組近似估值

我們遇到的多是 超定方程組，因此學習一下如何求超定方程的近似解。

先看一個比較簡單的問題。

設 $\underset{u}{\rightarrow}=(1,1)^{T},\underset{v}{\rightarrow}=(2,0)^{T},\underset{b}{\rightarrow}=(3,1)^{T}$ ，能否找到一組 $x_{1}, x_{2}$ 滿足： $x_{1}*\underset{u}{\rightarrow}+x_{2}*\underset{v}{\rightarrow}=\underset{b}{\rightarrow}$ 。

用矩陣表示： $\left [ u,v \right ]*\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=b$ ，也等同於 $\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}$ ， (解出來是，適定方程組)，解得(唯一解) ： $x_{1}=1, x_{2}=1$ 。

第二個問題，設 $\underset{u}{\rightarrow}=(1,1,0)^{T},\underset{v}{\rightarrow}=(2,0,0)^{T},\underset{b}{\rightarrow}=(3,1,3)^{T}$ ，試問，能否找到一組 $x_{1}, x_{2}$ 滿足： $x_{1}*\underset{u}{\rightarrow}+x_{2}*\underset{v}{\rightarrow}=\underset{b}{\rightarrow}$ 。

用矩陣表示： $\left [ u,v \right ]*\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=b$ ，也等同於 $\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 1 &0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 3 \end{bmatrix}$ ，(解出來是，超定方程組)，無解。

圖中的向量 $b$ ，脫離了 $u~,v$ 倆個向量的平面；這就從幾何上說滿足條件的未知數是無法找到的。

雖然無解，但卻可以找到一個最接近向量 $b$ 的 $b_{1}$ 向量，如下圖。

$b$ 向量 - $b_{1}$ 向量 = $e$ 向量

幾何推導過程：

方程組表達式也可以推導：

方程組表達式： $A\underset{x}{\rightarrow}=\underset{b}{\rightarrow}$
在等式倆邊都乘一個 $A^{T}：A^{T}A\underset{x}{\rightarrow}=A^{T}\underset{b}{\rightarrow}$

$A$ 的轉置乘 $A$ 必然是一個實對稱矩陣，實對稱矩陣必定可逆，等式的左右倆邊還可以乘 $A$ 的轉置： $(A^{T}A)^{-1}A^{T}\underset{b}{\rightarrow}$ 。

工程應用：天體軌道參數估計

前置知識：《極座標、開普勒第一定律》。

根據開普勒第一定律，當忽略其他天體的重量吸引時，一個天體應該取橢圓、拋物線或雙曲線軌道。

在極座標 $(\Theta,~r)$ 中，天體的位置滿足一個方程：

$r = \beta + e(r~cos(\Theta))$

$\beta$ 爲軌道常數， $e$ 是軌道偏心率；對於橢圓 $0<e<1$ ，對於拋物線 $e>1$ 。

著名的哈雷彗星是一個橢圓，臺灣的鹿林彗星是一個拋物線。

天文學家利用太空望遠鏡🔭，觀測到一個新的天體，上圖的原點 $O$ 代表地球，座標是極座標系。

新天體，第一次觀測出現的位置（得到極座標 $(\Theta,~r)$ ：）：

連續觀測了五次，得到了五組數據（五個座標）：

而後，要做的就是根據這些已有的數據推導天體的軌道方程！！

也就是，估計軌道常數參數 $\beta$ 、軌道偏心率 $e$ 。

因爲我們已經得到了五組 $(\Theta,~r)$ ，而天體的位置又必然滿足軌道方程 $r = \beta + e(r~cos(\Theta))$ ，就形成了五組二元一次方程。

$\left\{\begin{matrix} 1· \beta + 3.00~cos(0.88) ·e = 3.00 \\ 1· \beta + 2.30~cos(1.10) ·e = 2.30 \\ 1· \beta + 1.65~cos(1.42) ·e = 1.65 \\ 1· \beta + 1.77~cos(1.25) ·e = 1.25 \\ 1· \beta + 2.14~cos(1.01) ·e = 1.01 \end{matrix}\right.$

看這些方程的類型，就是超定方程組 — 係數還有小數，基本消不了。

用矩陣表示（矩陣乘法）：

$\left[ \begin{matrix} 1 & 3.00~cos(0.88)\\ 1 & 2.30~cos(1.10)\\ 1 & 1.65~cos(1.42)\\ 1 & 1.77~cos(1.25)\\ 1 & 2.14~cos(1.01) \end{matrix} \right]* \left[ \begin{matrix} \beta\\ e \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 3.00\\ 2.30\\ 1.65\\ 1.25\\ 1.01 \end{matrix} \right]$

解得： $\beta = 1.45, ~e = 0.81$ 。

所以，天體軌道方程爲： $r = 1.45+0.81r~cos(\Theta)$ 。

整理得： $r=\frac{1.45}{1-0.81~cos(\Theta)}$

觀測的數據越多，參數估計就越準確。

# 運行：在命令行輸入 python 當前源文件.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 1.準備好觀測到的 (θ,r) 數據   r = 貝塔 + e(r cosθ)
data = np.array([ [ 0.88,  3.00],
                  [ 1.10,  2.30],
                  [ 1.42,  1.65],
                  [ 1.77,  1.25],
                  [ 2.14,  1.01] ])
 
# 2.構建係數矩陣A
A = np.ones((data.shape[0],data.shape[1]))
for i in range(0,data.shape[0]): # i從 [0,5) 區間逐一取值
    theta , r = data[i][0] , data[i][1]
    A[i][1] = r * np.cos(theta)
print("Mat A:\n", A)
 
# 3.構造常數項矩陣b
b = data[:,1]
print("Mat b:\n", b)
 
# 4. 根據估值公式求解參數
x = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(A.T,A)), A.T),b)
print("--------------\nMat x:\n",x)
 
# 5. 畫出天體運行軌道
theta_ = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
r_ = x[0] / (1-x[1]* np.cos(theta_))
graph = plt.subplot(111, polar=True)   	 # 1行1列圖像中的第一個
data_= data.T
graph.plot(data_[0,:],data_[1,:],'go')   # 將已測量數據打上綠色的o（'go'）
graph.plot(theta_, r_ ,'r', linewidth=1)
plt.show()

效果演示：

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