線性代數04 行列式的性質：舉一反三，從三個到十個

對於行列式的性質，一共十個，都可以從三個基礎的性質推出來。因此此篇博文將詳細的從三個基礎性質說起。

---

性質1

Det I=1

說明：這個很好理解，只要知道單位矩的結構。就知道單位陣的對角線上全是1，因此行列式也是1.

---

性質2

對於行列式來說，變換行的位置，行列式需要變換符號：
例如：

---

性質3a

矩陣的某一行可提取公因子到行列式外。這一點一定要區別於矩陣的提取公因子。

性質3b（加法性質）

---

性質4

若行列式中存在相等的行，那麼行列式等於0

利用性質2，假設a1行和a2行相等，交換這兩行，那麼會有det A = - det A(change)
但是，事實上 det A= det A（change），所以det A=0.

---

性質5

某一行減去另外一行的K倍，行列式不改變。

證：以二階行列式爲例
又因爲性質4，可以得到即使第二行減去了第一行l倍的行列式，仍然等於原來的行列式。

---

性質6

若有一行爲0，則行列式爲0.
很好理解，可以把0提取出來。

---

性質7

行列式的值，等於其化簡成上三角行列式的對角線的乘積。
這一點不太好用公式說明，但是我還是用一個簡單的圖例來說明，主要的思想是：
step1：運用初等變換（性質5）來將上三角行列式變成只含有對角線的是的行列式
step2：運用性質3a，可以將對角線上的公因子提取出來，這樣一來，就變成了對角線上的常數項與單位陣的相乘。

---

性質8

（1）若det A =0，那麼矩陣A是奇異的（singular）
（2）若det A≠0，那麼矩陣啊是非奇異的，即可逆的
這一條性質的證明，可以參考上一篇博文對於行列式等於0和不等於0的計算。先說完性質9，我們可以再證明一下性質8.

---

性質9

$det（A*B）=det A *det B$

結合性質8，對於這個式子有
$det(A^{-1}*A)=det A^{-1} * det A=det I=1=>detA^{-1}=1\div(det A)$
若det A=0，那麼上述的式子沒有意義，因此，也不可能計算det A=0的矩陣A的逆。即逆不存在

---

性質10

$det A^{T}=det A$
證明：
對於A和A的轉置來說，均可以對其進行LU分解，因此也有
$det A^{T}=det(LU)^{T}=det(U^{T}L^{T})\\det A=det (LU)=detL*detU\\ \ \\∵det L=detL^{T}且detU=detU^{T}\\∴det A^{T}=det A$
關鍵在於：
（1）上三角矩陣U中，不論轉置與否，對角線的元素都不會改變。
（2）對於單位下三角矩陣L來說，不管轉置與否，對角線的元素也不會改變

概念

矩陣的LU分解
行列式