上一篇文章介紹了關於矩陣的秩與線性方程組的解之間的關係。現在我們可以探究另一個非常重要的概念（行列式）與線性方程組的解的情況之間的關係。
1 行列式
首先，我們需要了解什麼是行列式。
行列式，是一個相對於矩陣的概念，並且必須是方陣纔有行列式的概念。重要的話說三遍：方陣纔有行列式的概念，方陣纔有行列式的概念，方陣纔有行列式的概念。
我們可以認爲行列式是一個值，通過對n階方陣進行行列式的運算，可以得到一個值，我們記矩陣A的行列式爲|A|,有的地方也記作det A，這是因爲行列式的英文是“determinant”,行列式的計算方法是將矩陣進行LU分解，將矩陣化成上三角矩陣的形式，這樣對角線上的積就是|A|，這裏有些不嚴謹，實際上應該是對於行列式進行變換，得到三角行列式，然後對角線的乘積就是行列式的值，中間計算還會涉及到一些符號的細節，由於本篇博文重點不在於行列式的計算，就此省略。
現在我們就來看看行列式是如何告訴我們線性方程組的解的情況，並且爲什麼這樣。
2 齊次線性方程組
簡而言之就是常數項全爲0的方程組。
我們必須要明確一點，齊次線性方程組是指的那些滿足常數項全爲0的線性方程組，而並沒有規定必須是n個方程，n個未知數，但我們在討論係數矩陣的行列式與齊次線性方程組的關係的時候，由於行列式的概念只存在於方陣中，因此我們只在這篇博文中討論n個方程，n個未知數的線性方程組。
3 行列式的值與齊次線性方程組的關係
對於n個方程，n個未知數的齊次線性方程組Ax=0，我們可以提取出它的係數矩陣A，計算係數矩陣A的行列式det A，通過det A的值來判斷齊次線性方程組的解的情況。
首先，我們需要明確一點：對於齊次線性方程組，只存在兩種解的情況，要麼只有唯一解（x=0），要麼有非零解（無窮多解）。
爲什麼沒有無解的情況，因爲對於Ax=0來說，至少存在一個解，就是x全取0的解的情況。
那麼行列式的值，又如何來確定這兩種情況呢？
（1）我們先思考一下行列式的值的計算過程，看一下實例：
（2）觀察以上實例，再結合之前提到過的高斯-諾爾當算法，以及矩陣的秩與解的情況的關係。是不是覺得行列式的變化過程與矩陣化爲行階梯的過程很像？
事實上，我們不難發現，其實增廣矩陣的秩，就是係數矩陣的秩，對於係數矩陣來說，它包含的信息纔是包含主元和自由變量的信息主體（可以仔細體會下這句話）。
可以說，我們如果只是想要判斷解的情況，就根本不需要考慮常數項。而計算行列式時，若行列式的值det A=0，那麼便是係數矩陣變化的過程中，出現了全爲0的行，那麼對於齊次線性方程組來說，其常數項又都是0，這樣一來，det A=0，就對應增廣矩陣化爲階梯矩陣後，存在一行全爲0。即原方程組有無窮多解。
（3）那麼如果det A≠0呢，說明計算行列式det A時，對角線上每一個數字都不爲0，即係數矩陣化簡到階梯形式時，係數矩陣的秩R=n。這個時候，方程組有唯一解。因爲齊次線性方程組的特殊性，我們可以得到，此唯一解就是0解。
小結：
對於齊次線性方程組Ax=0：
（1） 若det A=0，則方程組有無窮解，也叫非零解。
（2） 若det A≠0，則方程組有0解
4 非齊次線性方程組
常數項不全爲零的線性方程組稱爲非齊次線性方程組。非齊次線性方程組的表達式爲：Ax=b。
解析過程與齊次線性方程組的過程類似，但是唯一的區別就是，因爲推廣到增廣矩陣時，常數項不爲0了，所以有以下結論：
（1） 若det A=0，則方程組有無窮解/無解。
（2） 若det A≠0，則方程組有一個唯一解。
對無解的情況說明下，行列式det A=0只能說明，在高斯-諾爾當消元中，增廣矩陣的左邊，即係數矩陣存在一行爲0，但是有可能出現這一行的情況是[0 0 0 0 | 1],其中1是原線性方程中的常數項，就出現了0=d（常數）的情況，當然是無解了。
5 總結
本篇博文從n個方程，n個未知數的線性方程組的齊次情況和非齊次情況來討論了係數矩陣A的行列式det A是如何來反應線性方程組的解的。
下一篇博文，我將詳細的說明關於行列式的性質，這些性質在計算行列式的時候非常的重要，有些性質的推導過程非常的精妙。值得我們反覆推敲。