線性代數05 齊次/非齊次線性方程組的具體解集

通過線性代數系列博客03，我們瞭解了齊次線性方程組與非齊次線性方程組，瞭解了線性方程組的係數矩陣的行列式與解的情況的關係。接下來我們就要探究，如果我們需要具體求解線性方程，我們需要怎麼做？

在具體瞭解求解線性方程組的過程之前，我們需要先明確幾個概念。

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1 明確概念

（1）齊次線性方程組：常數項全爲0的線性方程組
（2）齊次線性方程組的解的情況：零解，或者非零解。
在這裏，我們只需要討論非零解的具體情況就好了。因爲對於零解的情況，我們只需要算出來它的係數矩陣的行列式det A≠0即可。

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1. 基礎解系
   在聊基礎解系之前，先討論一個概念：解空間w，對於齊次線性方程組來說，它的解空間是齊次線性方程組的解集所構成的一個向量空間。對於非零解的情況下，此空間不是一個零空間（nullspace），因此我們可以在這個空間中知道一組向量，作爲解空間w的一個基。
   這樣的一個基，我們就稱爲齊次線性方程組的一個基礎解系。
   （基：若空間中的任意一個向量都可以由一組線性無關的向量通過線性組合的方式表示，這樣的一組向量，我們稱爲空間的基）

這裏也可以得到基礎解系的官方定義：齊次線性方程組的解集的極大線性無關組

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2. 通解
   對於齊次線性方程組的解集來說，$\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{n}$
   若存在一組解向量$\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{t}(t<=n)$
   是解空間的一個基，則稱這組解向量爲一個基礎解系列。那麼就方程組的解集W可以表示爲：
   $w=k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+.......+k_{t}\eta_{t}|k_{i}∈K，i=1,2,.....t$
   公式表述的稍有不嚴謹,集合的{}符號沒辦法打上，其實上面這個關於w的表示方法就是說明，對於基礎解系來說，它可以線性的表示爲向量空間內的任何一個解。

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3. 解空間的維數
   解空間的維數就是一個解中具有多少個向量，符合以下公式（其中W是解集，n是變量的數量，A是係數矩陣）
   $dim W=n-rank(A)$
   其實也很容易理解，秩的數量表示了主元的數量，n-rank（A）實際上是自由變量的數量，我們對自由變量中的一個取1，其他的取0，這樣所有的自由變量均可以取到一次1，產生1次解向量。有多少個自由變量，我們可以得到不同的解。

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2齊次線性方程組的解法

對以下實例進行求解：


通過以上實例，我們可以很清楚的看到齊次線性方程組的求解過程可以總結爲以下過程：
（1）將係數矩陣A經過初等行變換化成最簡行階梯矩陣J
（2）直接從最簡行階梯矩陣J寫出齊次線性方程組的一般形式（其實這一步就是消元法的代入步驟），這樣就得到了一般解
（3）對於一般解，我們可以每一次讓一個自由變量取1，其他的自由變量均取0，這樣得到一個解向量，重複此過程，直到所有的解向量都的出來。
（4）對於所有的解向量的線性組合，我們就稱爲方程組的解集。（也叫做方程組的通解）

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3 非齊次線性方程組的解法

對於非齊次線性方程組，我們的求法基本上是和齊次線性方程組基本上是一致的，但由於常數項的存在，我們在進行求解的時候，不能僅僅通過係數矩陣A來求解，而要通過增廣矩陣Augmented matrix 來求解。通過下面一個實例來看：

通過以上實例，我們可以很清楚的看到非齊次線性方程組的求解過程可以總結爲以下過程：
（1）將增廣矩陣經過初等行變換化成最簡行階梯矩陣J
（2）直接從最簡行階梯矩陣J寫出齊次線性方程組的一般形式（其實這一步就是消元法的代入步驟），這樣就得到了一般解（注意別把常數項拉下）
（3）對於特解，我們可以令所有的自由變量均爲0，這樣可以得到一個特解。
（4）去掉一般解中的常數項，得到導出組的一般解。
（5）對於導出組的一般解，我們可以每一次讓一個自由變量取1，其他的自由變量均取0，這樣得到一個解向量，重複此過程，直到所有的解向量都得出來。
（6）對於特解+所有的解向量的線性組合，我們就稱爲方程組的解集。（也叫做方程組的通解）

可以看到，除了需要求特解，將常數項去掉後，我們回到了求解齊次線性方程得解得集合。
另外，導出組的概念需要說明：

導出組指的是，將非齊次線性方程組的常數項全部變成0，即將非齊次線性方程組轉變爲齊次線性方程組，這個對應的齊次線性方程組稱作非齊次線性方程組的導出組。

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4 概念

導出組
基礎解系
極大線性無關組