1. Wasserstein GAN 論文的第2節Different Distances中給出Earth-Mover (EM) distance的定義形式：
![]()
將公式（1）的期望形式轉換成積分形式：
![W(\mathbb{P}_{r},\mathbb{P}_{g})=\inf_{\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})}\int \int \gamma (x,y) \left \| x-y \right \| d_{x} d_{y}]()
》![\prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})]()
是![\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g}]()
組合起來的所有可能的聯合分佈的集合【1】；
》根據文獻【2】，![\left \| x-y \right \|]()
是L1範數，其含義是成本函數，貨物從x運輸到y的成本；
》根據論文的描述，![\gamma(x,y)]()
表示爲了把分佈![\mathbb{P}_{r}]()
變換成分佈![\mathbb{P}_{g}]()
，需要從x運輸多少 “mass” 到 y；
結合文獻【3】和文獻【2】的描述，可以更好地理解![\gamma(x,y)]()
，![\gamma]()
是一種運輸方案，設![\mathbb{P}_{r}]()
是原始分佈，![\mathbb{P}_{g}]()
是目標分佈。![\mathbb{P}_{r}(x)]()
是指在原始分佈的x的位置存放了![\mathbb{P}_{r}(x)]()
量的貨物，即原始分佈的x的位置存放的貨物量；![\mathbb{P}_{g}(x)]()
是目標分佈的x位置存放的貨物量；如果![\mathbb{P}_{r}(x)> \mathbb{P}_{g}(x)]()
，就需要將![\mathbb{P}_{r}(x)]()
一部分貨物運輸到目標分佈的其他位置；如果![\mathbb{P}_{r}(x)< \mathbb{P}_{g}(x)]()
，就需要將原始分佈的其他位置的貨物運輸到該目標分佈的位置。![\gamma(x,y)]()
表示，從原始分佈的x位置搬![\gamma(x,y) d_{x}]()
那麼多的貨物目標分佈的y位置；
因爲![\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{r}, \mathbb{P}_{g})]()
，所以可以得到以下約束：![\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y), \int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)]()
根據文獻【3】，從離散隨機隨機變量的角度理解，![\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y)]()
從原始分佈的x位置運輸到目標分佈的y位置的貨物量不能超過目標分佈y位置的貨物容量；![\int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)]()
從原始分佈的x位置運輸到目標分佈的y位置的貨物量不能超過原始分佈x位置的原有的貨物量；（這樣理解不知道對不對，本人能力有限，希望各位多多指點）
》inf 表示下確界，即在所有運輸方案中，找到總運輸成本![\int \int \gamma (x,y) \left \| x-y \right \| d_{x} d_{y}]()
最小的方案。
2. 分析Wasserstein GAN 論文的案例1,如何計算得到![W(\mathbb{P}_{0},\mathbb{P}_{\theta})=\left |\theta \right |]()
:
![]()
根據案例的1的描述，可以得到以下示例圖：
![]()
![W(\mathbb{P}_{0},\mathbb{P}_{\theta})=\inf_{\gamma \in \prod (\mathbb{P}_{0}, \mathbb{P}_{\theta})} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma (y_{1},y_{2}) \left \| y_{1}-y_{2} \right \| d_{y_{1}} d_{y_{2}}]()
![\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma (y_{1},y_{2}) \left \| y_{1}-y_{2} \right \| d_{y_{1}} d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right | \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \gamma(y_{1}, y_{2}) d_{y_{1}} d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right | \int_{0}^{1} \mathbb{P}_{\theta}(y_{2}) d_{y_{2}} \newline=\left | \theta \right |]()
以上公式推導過程，主要利用前面![\int \gamma(x,y) dx = \mathbb{P}_{g}(y), \int \gamma(x,y) dy = \mathbb{P}_{r}(x)]()
。
參考文獻：
【1】https://mp.weixin.qq.com/s/LeycG3bW-TIdHCr2raZPrQ
【2】https://kexue.fm/archives/6280
【3】https://blog.csdn.net/wangdonggg/article/details/32329879?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-11.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-11.nonecase
