洛谷 U1406 game

題目描述 Description
給出n個正整數，Archon、wxjlzbcd兩個人輪流取任意數量的數，遊戲的結束條件是n個數都被取走。
每次取數時，獲得的得分爲所取數中的最小值。
假設Archon先取數，Archon和wxjlzbcd的策略都是儘可能使得自己的得分減去對手的得分更大，請求出遊戲結束時Archon的得分減去wxjlzbcd的得分爲多少。
輸入輸出格式 Input/output
輸入格式：
輸入第1行爲一個整數n，表示整數個數。
輸入第2行爲給出的n個整數a_i。
輸出格式：
輸出第1行爲一個整數ans，表示Archon的得分減去wxjlzbcd的得分。
輸入輸出樣例 Sample input/output
樣例測試點#1 輸入樣例：
3
1 3 1
輸出樣例：
2
說明 description
對於樣例，Archon取走第二個數，wxjlzbcd取走第一個和第三個數。答案爲3-1=2。
對於30%的數據，1≤n≤10；
對於100%的數據，1≤n≤1000000，1≤a_i≤10^9。

這個題真是神！~
╮(╯▽╰)╭平時這種題練得少。。。。一道DP。。啊啊啊啊。。DP主要在理解。。。很拼智力

現在用f[i]表示剩餘有i個數時 先手-後手 的最大差值（題意使然），那麼答案就是f【n】（下面會詳細解釋）
用a數組記錄讀入的數字
先qsort a數組使其單增，作用後續可知
現在推證狀態轉移方程：（注意題目中要求“每次取數時，獲得的得分爲所取數中的最小值”，差值最大不一定是取最大值，）

f【i】:=max(num[i]-f[i],f[i-1]) (for i:=1 to n)

遞推就是取數過程的倒推模擬

* 此方程的效應等同於 A每次取得的得分和（即A的總得分）-B每次取得的得分和（即B的總得分）*

此方程展開：
現在用num【i】表示A每次的得分，num【j】表示B每次的得分
f【n】：
=num【i1】-f【n-1】
=num【i1】-（num【j2】-f【n-2】）
=num【i1】-（num【j2】-num【i2】+f【n-3】）
=num【i1】-num【j2】+num【i2】-f【n-3】
=num【i1】+num【i2】-num【j2】-f【n-3】
可知完全展開後即“此方程的效應等同於 A每次取得的得分和（即A的總得分）-B每次取得的得分和（即B的總得分）”
初始狀態f【0】：=0（ 顯然）

推證到這裏就應該懂得了當前的最大差值，就等於當前選的數字a【i】減去後手將要獲得的最大差值f【i-1】，這也是此方程進行轉移的基礎和核心

一個人要使自己本次的得分爲num【i】（即取得的所有數中的min爲num【i】），那麼必須取得num【i】及其比它大的所有數，因爲要保證本次自己和另一個人差值最大，所以把比它大的數全部取走，不能留給後手使其縮短差距。所以要qsort使數字遞增，因爲遞推的時候是越往後應使其選擇的數字越大，i越大是剩的數字越多，也就是越靠近最初始的狀態。這個遞推就是取數過程的倒推模擬

 現在結合代碼片說明qsort作用：
   枚舉的時候是a【i】遞增順序，因爲要儘可能使先取的數字大，所以i越大，應使f【i】時選擇的數字越大。枚舉到a【i】的意思是選擇a【i】及其後面的所有數字。
  for i:=1 to n do
    begin
      f[i]:=max(a[i]-f[i-1],f[i-1]);
    end;

思路有點凌亂，但是附上蒟蒻代碼~~~

var maxmax,n,i:longint;
    f,a:array[0..1000000]of longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
  if a>b then exit(a);exit(b);
end;

procedure qsort(b,e:longint);
var l,r,m,t:longint;
begin
  l:=b;r:=e;m:=a[(l+r)>>1];
  while l<=r do
    begin
      while a[l]<m do inc(l);
      while m<a[r] do dec(r);
      if l<=r then
        begin
          t:=a[l];
          a[l]:=a[r];
          a[r]:=t;
          inc(l);
          dec(r);
        end;
    end;
  if l<e then qsort(l,e);
  if b<r then qsort(b,r);
end;

begin
  readln(n);
  for i:=1 to n do read(a[i]);
  qsort(1,n);
  f[0]:=0;
  for i:=1 to n do
    begin
      f[i]:=max(a[i]-f[i-1],f[i-1]);
    end;
  write(f[n]);

end.

 評測結果 Result
測試點 #1：通過該測試點。 得分10，耗時0ms，內存3137kB。
測試點 #2：通過該測試點。 得分10，耗時15ms，內存3145kB。
測試點 #3：通過該測試點。 得分10，耗時15ms，內存3133kB。
測試點 #4：通過該測試點。 得分10，耗時0ms，內存3112kB。
測試點 #5：通過該測試點。 得分10，耗時0ms，內存3174kB。
測試點 #6：通過該測試點。 得分10，耗時46ms，內存3936kB。
測試點 #7：通過該測試點。 得分10，耗時62ms，內存4845kB。
測試點 #8：通過該測試點。 得分10，耗時358ms，內存11141kB。
測試點 #9：通過該測試點。 得分10，耗時390ms，內存11124kB。
測試點 #10：通過該測試點。 得分10，耗時514ms，內存11116kB。