MATLAB系列：向量與多項式筆記

0x00 前言

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0x01向量與多項式筆記

1.向量

（1）向量的概念

向量是由n個數a1,a2,……，an組成的有序數列，記成：
$a = \begin{bmatrix} a1\\ a2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$
或者
$a^T = \begin{bmatrix} a1&a2&...&a_n \end{bmatrix}$

（2）MATLAB中生成向量的方法

1）直接輸入法
在命令窗口直接輸入向量:

例1：

>> x = [1 2 3 4]

例2：

>> x = [1;2;3;4]

2)冒號創建法
基本格式爲 x = first:increment:last，表示從first到last，數據元素增量爲increment，若 increment爲1，則可以寫成x = first:last。

例3：

>> x = 0:2:10

例4：

>>x = 0:1:10

例5：

>> x = 0:10

3)利用linspace()函數創建法
linspace()直接 定義數據元素個數，而不是元素之間的增量來創建向量，linspace()函數使用格式：linspace(first_value,last_value,number)。

例6：

>>linspace(0,10,6)

4)利用linspace()函數創建法
與linspace()類似，logspace()也通過直接定義向量元素個數而非增量創建向量，linspace()函數使用格式：linspace(first_value,last_value,number)。該函數表示以10爲底，從10^first_value到10^last_value爲止，創建number個數據元素的向量。

例7：

>>x = logspace(1,4,4)

（4）向量的四則運算、點積（內積/數量積）運算、叉積（外積/向量積）運算以及混合運算

向量可以看成一種特殊矩陣 ，因此對矩陣的運算同樣適用於向量。向量可以進行加減乘除四則運算，也可以進行一些特殊運算包括點積、叉積、混合積。

1)向量的四則運算

例8：

>>x1 = [2 9 8 7]; %";"表示該行運行結果不顯示
>>(x1+5-(2*x1+1))/2

2)向量的點積運算
兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義爲：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

點積的幾何意義在於判斷一個向量在另一個向量方向上投影的長度或兩個向量的方向，具體關係如下：
a·b > 0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間。
a·b=0 正交，相互垂直。
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間

例9：

>> x1 = [1 2 3 4];
>> x2 = [5 6 7 8];
>> y = dot(x1, x2)

3)向量的叉積運算
兩個向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，兩向量夾角爲θ，叉積定義：c=a×b=n|a||b|sin<a，b>，n爲垂直於向量a,b的單位向量。

這個向量積的方向是垂直於ab兩個向量所在平面，遵從右手螺旋法則。並且ab叉積後的向量積的模長在數值上等於以a，b，夾角爲θ組成的平行四邊形的面積,即：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

例10：

>> a = [1 2 3];
>> b = [4 5 6];
>> c = cross(a, b)

4)向量的混合積運算
MATLAB中混合積運算可以由dot、cross函數共同完成。

例11：

>> a = [1 2 4];
>> b = [2 3 5];
>> c = [4 4 9];
>> d = dot(a, cross(b,c))

2.多項式

（1）多項式的概念

多項式（polynomial）是指由變量、係數以及它們之間的加、減、乘、冪運算（非負整數次方）得到的表達式。在MATLAB中， 多項式的係數組成的向量表示爲p = [a0,a1,…,an]，例如2x³-x²+3表示爲[2,-1,0,3]。係數中0不可省略。
我們可以將多項式轉化爲向量進行運算。

（2）MATLAB中生成多項式的方法

1）輸入符號生成多項式
直接輸入符號生成多項式。

例12：
生成多項式4x³ +2x² +3

'4*x^3+2*x^2+3'

2))利用polysym()函數創建法
使用 ply2sym(p)生成多項式，p爲多項式係數向量。

例13：
利用向量p = [3 3 4 6 -8]構建多項式3x⁴ +3x³+4x²+6x-8

>> p = [3 3 4 6 -8];
>> poly2sym(p)

（2）多項式的四則運算

MATLALB沒有提供專門的多項式的加減運算，多項式的四則運算實際上是多項式對應係數的四則運算。

例14：
2x³-x²+3與2x+1的加減乘除

>> p1 = [2 -1 0 3];
>> p2 = [1 0 2 1];
>> p1 + p2
>>deconv(p1, p2)
>>conv(p1, p2)

以上。
參考文檔：
1.https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962（Markdown 公式指導手冊）
2.https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162(矩陣空格公式方程組)
3.天工在線.中文版MATLAB2018從入門到精通（實戰案例版）[M].北京:中國水利水電出版社,2018.
4.https://baike.baidu.com/item/%E7%82%B9%E7%A7%AF
5.https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F