MATLAB系列：向量与多项式笔记

0x00 前言

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0x01向量与多项式笔记

1.向量

（1）向量的概念

向量是由n个数a1,a2,……，an组成的有序数列，记成：
$a = \begin{bmatrix} a1\\ a2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$
或者
$a^T = \begin{bmatrix} a1&a2&...&a_n \end{bmatrix}$

（2）MATLAB中生成向量的方法

1）直接输入法
在命令窗口直接输入向量:

例1：

>> x = [1 2 3 4]

例2：

>> x = [1;2;3;4]

2)冒号创建法
基本格式为 x = first:increment:last，表示从first到last，数据元素增量为increment，若 increment为1，则可以写成x = first:last。

例3：

>> x = 0:2:10

例4：

>>x = 0:1:10

例5：

>> x = 0:10

3)利用linspace()函数创建法
linspace()直接 定义数据元素个数，而不是元素之间的增量来创建向量，linspace()函数使用格式：linspace(first_value,last_value,number)。

例6：

>>linspace(0,10,6)

4)利用linspace()函数创建法
与linspace()类似，logspace()也通过直接定义向量元素个数而非增量创建向量，linspace()函数使用格式：linspace(first_value,last_value,number)。该函数表示以10为底，从10^first_value到10^last_value为止，创建number个数据元素的向量。

例7：

>>x = logspace(1,4,4)

（4）向量的四则运算、点积（内积/数量积）运算、叉积（外积/向量积）运算以及混合运算

向量可以看成一种特殊矩阵 ，因此对矩阵的运算同样适用于向量。向量可以进行加减乘除四则运算，也可以进行一些特殊运算包括点积、叉积、混合积。

1)向量的四则运算

例8：

>>x1 = [2 9 8 7]; %";"表示该行运行结果不显示
>>(x1+5-(2*x1+1))/2

2)向量的点积运算
两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

点积的几何意义在于判断一个向量在另一个向量方向上投影的长度或两个向量的方向，具体关系如下：
a·b > 0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间。
a·b=0 正交，相互垂直。
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

例9：

>> x1 = [1 2 3 4];
>> x2 = [5 6 7 8];
>> y = dot(x1, x2)

3)向量的叉积运算
两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，两向量夹角为θ，叉积定义：c=a×b=n|a||b|sin<a，b>，n为垂直于向量a,b的单位向量。

这个向量积的方向是垂直于ab两个向量所在平面，遵从右手螺旋法则。并且ab叉积后的向量积的模长在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积,即：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

例10：

>> a = [1 2 3];
>> b = [4 5 6];
>> c = cross(a, b)

4)向量的混合积运算
MATLAB中混合积运算可以由dot、cross函数共同完成。

例11：

>> a = [1 2 4];
>> b = [2 3 5];
>> c = [4 4 9];
>> d = dot(a, cross(b,c))

2.多项式

（1）多项式的概念

多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。在MATLAB中， 多项式的系数组成的向量表示为p = [a0,a1,…,an]，例如2x³-x²+3表示为[2,-1,0,3]。系数中0不可省略。
我们可以将多项式转化为向量进行运算。

（2）MATLAB中生成多项式的方法

1）输入符号生成多项式
直接输入符号生成多项式。

例12：
生成多项式4x³ +2x² +3

'4*x^3+2*x^2+3'

2))利用polysym()函数创建法
使用 ply2sym(p)生成多项式，p为多项式系数向量。

例13：
利用向量p = [3 3 4 6 -8]构建多项式3x⁴ +3x³+4x²+6x-8

>> p = [3 3 4 6 -8];
>> poly2sym(p)

（2）多项式的四则运算

MATLALB没有提供专门的多项式的加减运算，多项式的四则运算实际上是多项式对应系数的四则运算。

例14：
2x³-x²+3与2x+1的加减乘除

>> p1 = [2 -1 0 3];
>> p2 = [1 0 2 1];
>> p1 + p2
>>deconv(p1, p2)
>>conv(p1, p2)

以上。
参考文档：
1.https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962（Markdown 公式指导手册）
2.https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162(矩阵空格公式方程组)
3.天工在线.中文版MATLAB2018从入门到精通（实战案例版）[M].北京:中国水利水电出版社,2018.
4.https://baike.baidu.com/item/%E7%82%B9%E7%A7%AF
5.https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F