MATLAB系列：矩陣運算筆記（一）

0x00 前言

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0x01 矩陣

1.矩陣定義

矩陣是由m*n個數 a_ij (i = 1,2…,m,j = 1,2,…,n) 排列成m行n列，記成：
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$

該矩陣稱爲m* n 矩陣，記成A_{m *n} 。若m=n，則該矩陣稱爲n階矩陣（n階方陣）。

2.矩陣的生成

矩陣的生成有直接輸入法、M文件生成法以及文本文件生成法。
1）直接輸入法
可以再命令行窗口直接定義矩陣，若定義時“[ ]”內無內容，表示爲一個空矩陣：

例1：
直接輸入法定義矩陣1。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

例2：
直接輸入法定義矩陣2。

>> A = [1 1+i 2;2 4+2i 4]

2 ) M文件生成法
若矩陣的規模比較大，適合使用M腳本文件進行創建矩陣。

例3：
M文件生成發定義矩陣。

在M腳本文件中編寫一個文件名爲sample.m的M文件：
M文件中：

%%sample.m
A = [123 33 44 55 66 77 77 89 99 22;
      33 44 33 987 53 3 32 45 12 32;
      203 303 0 03 32 23 00 5 34 34;
      2 333 444 94 94 82 23 43 43 3;]

編寫後保存爲sample.m格式文件。

命令行窗口中：

>>sample

3）文本文件生成法
建立文本文件，在命令行窗口調用該文件

例4：
文本文件生成法定義矩陣。

在記事本中創建名爲“test.txt”文本：

在命令行窗口中調用以及使用：

>> load test.txt
>> test

3.創建特殊矩陣

可以使用函數直接創建特殊矩陣：

>>eye(n) %%創建n*n單位矩陣
>>eye(m, n) %%創建m*n單位矩陣
>>ones(n) %%創建n*n全1矩陣
>>ones(m,n) %%創建m*n全1矩陣
>>zeros(m,n) %%創建全0矩陣
>>rand(n) %%在[0,1]區間內創建一個n*n均勻分佈的隨機矩陣
>>rand(m, n) %%在[0,1]區間內創建一個m*n均勻分佈的隨機矩陣
>>compan(P) %%創建係數向量是P的多項式的伴隨矩陣
>>diag(v) %%創建一個向量v中的元素爲對角的對角矩陣
>>hilb(n) %%創建n*n的Hilbert矩陣
>>magic(n) %%生成n階魔方矩陣
>>sparse(A) %%將矩陣A轉化爲稀疏矩陣形式，即由A的非零元素和下標構成稀疏矩陣S。若A本身爲稀疏矩陣，則返回A本身。

4.矩陣的修改

矩陣可以進行元素修改、抽取等操作。
1）矩陣元素修改

命令名	說明
D = [A;b c]	A爲原矩陣，B、C中包含要擴充的元素，D爲擴充之後的矩陣
A(m,:)	刪除A的第m行
A(:,n)	刪除A的第n列
A(m,n) = a	對A的第m行n列元素進行賦值
A(m,:) = [a b …]	對A的第m行進行賦值
A(:,n) = [a b …]	對A的第n列進行賦值

例5：
修改矩陣。

>> A = [2 3 4; 5 6 7];
>> B = eye(2);
>> C = zeros(2,1);
>> D = [A;B C]

2）矩陣變維
矩陣變維使用reshape()函數，調用格式爲：reshape(X,m,n)，將矩陣變維爲m行n列矩陣。

例6：
矩陣變維。

>> A = 1:12;
>> B = reshape(A,2,6)

3）矩陣的變向

命令名	說明
rot(90)	將A矩陣逆時針方向旋轉90度
rot(90,k)	將A逆時針方向旋轉90*k度，k可爲整數
fliplr(A)	將A左右翻轉
flipud(A)	將A上下翻轉
flipdim(X,dim)	dim = 1時對行翻轉，dim = 2時隊列翻轉

例7：
矩陣變向。

>> A = 1:12;
>> C = zeros(3,4);
>> C(:) = A(:)
>>flipdim(C,1)
>>flipdim(C,2)

4）矩陣抽取
對矩陣進行對角元素或上下三角矩陣元素抽取。

命令名	說明
diag(A,k)	抽取矩陣A的第k條對角線上的元素向量。k = 0抽取主對角線，k>0抽取上方第k條對角線上的元素，k<0時抽取下方第k條對角線上的數
diag(A)	抽取主對角線
diag(v,k)	使得v爲所得矩陣第k條對角線上的元素向量
diag(v)	使得v爲所得矩陣主對角線上的元素向量
tril(A)	提取矩陣A的主下三角形
tril(A,k)	提取矩陣A的第k條對角線下面部分（包括第k條對角線）
triu(A)	提取矩陣A的主上三角形
triu(A,k)	提取矩陣A的第k條對角線上面部分（包括第k條對角線）

例8：
矩陣抽取。

>> A = magic(4);
>> v = diag(A,2)
>> tril(A,-1)
>> triu(A)

0x02 矩陣數學運算

矩陣基本運算包括加、減、乘、數乘、點乘、乘方、左除、右除、求逆。
加、減、乘對應運算符爲+、-、* 。
矩陣除法爲MATLAB獨有的，分爲左除和右除，相應運算符爲\和/。方程AX=B的解是X=A\B，方程XA的解是X=A\B。

1.矩陣加法

設A=（a_ij），B=（b_ij），都是m*n矩陣，矩陣A與矩陣B的和記爲A+B，規定爲：
$A+B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}& ... &a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}& ... &a_{2n}+b_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}& ... &a_{mn}+b_{mn}\\ \end{bmatrix}$
滿足交換律和結合率：
交換律：A+B=B+A
結合率：（A+B）+C = A+（B+C）

例8：
矩陣驗證矩陣交換律和結合律。

>> A = [1 2 3 4;5 6 7 8];
>> B = [2 4 6 8;1 3 5 7];
>> C = [8 7 6 5;4 3 2 1];
>> A+B
>> B+A
>>(A+B)+C
>>A+(B+C)

2.矩陣乘法

1）數乘運算
數$\lambda$與矩陣A=（aij）乘積記爲$\lambda$A或A$\lambda$：

$\lambda A = \begin{bmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}& ... &\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}& ... &\lambda a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}& ... &\lambda a_{mn}\\ \end{bmatrix}$

矩陣滿足下列規律：
$\lambda$（$\mu$A） = ($\lambda$$\mu$)A
($\lambda$+$\mu$)A = $\lambda$A +$\mu$A
$\lambda$(A+B) = $\lambda$A+$\lambda$B

例9：
數乘運算。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> 5*A

2）乘運算
設A（a_ij）是一個 m * s矩陣 ，B=b(_ij)是一個s* n矩陣，規定A與B的積爲一個m*n矩陣C=（c_ij）：
c_ij = a_i1+b_1j+a_i2+b_2j+…+a_isb_sj
i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n。

A列數要和B行數相同；
C行數等於A行數，C列數等於B列數；
C的m行n列元素值等於A的m行元素與B的列元素對應的值積的和。

$\begin{bmatrix} a_{i1}& a_{i2}& ... & a_{in}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ ...\\ b_{sj}\\ \end{bmatrix} =C_{ij}$
例10：
矩陣乘法。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> B = [2 3 4; 5 6 4;2 3 4];
>> A*B

注意：AB $\cancel{=}$ BA
$\begin{bmatrix} a_{1}& a_{2}& a_{3}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{2}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{1}b_{3}\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1}& b_{2}& b_{3}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\ a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\ a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\ \end{bmatrix}$
3)點乘運算
矩陣點乘運算指將兩個矩陣中同位置元素進行相乘運算，將積保存在原位置組成新元素。

例11：
點乘運算。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> B = [2 3 4; 5 6 4];
>> A.*B

3.矩陣除法

左除A\B時，A的行數要和B的行數一致，計算右除A/B時，A的列數要和B的列數一致。
1）左除運算
矩陣的特殊性，AB$\cancel{=}$ BA，除法也需要區分左右。
線性方程組D*X=B，若D爲非奇異矩陣，即它的逆矩陣inv（D）存在，則其解爲X=inv(D)*B=D\B。符號“\”稱爲左除 ，即分母放在左邊。左除條件爲：B的行數等於D的階數（D的行數和列數相同，簡稱階數）。

例12：

>> A = [1 2;2 1];
>> B = [2 3;3 4];
>> C = A*B
>> D = A\C
>> E = inv(A)*C

2)右除運算
若方程組表示X*D=B，D爲非奇異矩陣，即它的它的逆矩陣inv（D）存在，則其解爲X=B*inv(D)=B/D。符號“/”稱爲右除，即分母放在右邊。右除條件爲：B的列數等於D的階數（D的行數和列數相同，簡稱階數）。

例13：

>> A = [1 2;2 1];
>> B = [2 3;3 4];
>> C = A*B
>> D = C/B
>> E = C*inv(B)

以上。

參考文檔：
1.https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962（Markdown 公式指導手冊）
2.https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162(矩陣空格公式方程組)
3.https://blog.csdn.net/katherine_hsr/article/details/79179622（數學符號和公式）
4.天工在線.中文版MATLAB2018從入門到精通（實戰案例版）[M].北京:中國水利水電出版社,2018.
5.https://blog.csdn.net/clam_clam/article/details/7184991