集合劃分問題（一）

前言

這是王曉東所著的《計算機算法設計與分析》（第四版）第二章算法實現題的第6道（P41）

題目要求

問題描述：

n個元素的集合{1,2,…,n}可以劃分若干個非空子集。例如，當n=4時，集合{1,2,3,4}可以劃分爲15個不同的非空子集如下:

{{1},{2},{3},{4}},{{1,2},{3},{4}},{{1,3},{2},{4}},{{1,4},{2},{3}},{{2,3},{1},{4}},{{2,4},{1},{3}},{{3,4},{1},{2}},{{1,2},{3,4}},{{1,3},{2,4}},{{1,4},{2,3}},{{1,2,3},{4}},{{1,2,4},{3}},{{1,3,4},{2}},{{2,3,4},{1}},{{1,2,3,4}}

Input

多組輸入數據，每組數據1行，表示元素個數n.
Output

對於每組數據，輸出一行一個數，表示不同的非空子集的個數。
Sample Input

24
Sample Output

215

算法設計要求：

給定n以及待排的n個可能重複的元素。計算>給定正整數n(1<=n<=20),計算出n個元素的集合{1,2,…,n} 可以化爲多少個不同的非空子集。輸出n個元素的所有不同排列。

數據輸入：

由文件input.txt提供輸入數據，文件的第1行是元素個數n

結果輸出：

將計算出的不同的非空子集數輸出到output.txt

分析

考慮3個元素的集合，可劃分爲
① 1個子集的集合：{{1，2，3}}
② 2個子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3個子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

如果要求F(4,2)該怎麼辦呢？

A.往①裏添一個元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}

B.往②裏的任意一個子集添一個4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

∴F(4,2)=F(3,1)+2F(3,2)＝1+23＝7

這類問題屬於Bell數問題。
進行深入分析的話，可以設F(n,m)表示n個元素的集合劃分爲不同的由m個非空子集組成的集合的個數，設F(n)表示n個不同元素所能化成的非空子集總數。
首先可以考慮三個元素的情況。設集合爲｛1，2，3｝

①只含1個元素的集合的情況有1種 {{1，2，3}} ，即F(3,1)=1
②含2個元素的集合的情況有3種 {{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}，即F(3,2)=3
③含3個元素的集合的情況有1種 {{1}，{2}，{3}}，即F(3,3)=1;

此時共有F(3) = 1+3+1 = 5種

再單獨考慮F(4,2)的情況
先往①裏添一個元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}
再往②裏的任意一個子集添一個4，得到

{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}共6種

那麼顯然F(4,2)=F(3,1)+2F(3,2)＝1+23＝7
進行推廣，可以歸納出遞推公式：F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

源代碼

with open("input5.txt", mode='r') as f1:
    list1 = f1.read().split()
    n = int(list1[0])
    a = list(list1[1])
    b = []

    def diversal(list, position, end):
        # 此方法使用遞歸對有序列表進行調換順序，從而生成新的排列組合
        if position == end:  # 如果遞歸到只剩一個元素
            d = list[:]
            b.append(d)  # 將序列自身添加到排列集合中
        else:
            for index in range(position, end):  # 做調換
                list[index], list[position] = list[position], list[index]
                diversal(list, position + 1, end)   # 遞歸調用diversal()，使遞歸向下繼續進行
                list[index], list[position] = list[position], list[index]

    diversal(a, 0, n)

    s = []
    # 一個遞推式，目的是將b這一排列集合去重。產生的集合s就是沒有重複排列的集合了
    [s.append(i) for i in b if i not in s]
    s_len = len(s)
    with open("output5.txt", mode='w+') as f2:
        for i in range(s_len):

            # 最後做將列表轉化爲字符串的操作，以便符合題目所要求的的輸出格式
            s[i] = ''.join([j for j in s[i]])
            print((str(s[i])), file=f2)

        print(s.__len__(), file=f2)

輸入輸出示例

input5.txt

4
aacc

output.txt

aacc
acac
acca
caac
caca
ccaa
6

總結

這類全排列問題算是遞歸算法裏面經常出現的題目了，注意處理這類關係要找出遞歸式子或遞歸規律，然後找準遞歸終止條件，做好去重的操作，還是比較 容易做出來的。