01揹包：n種物品，你的揹包容量m，每種物品最多取一次，求最大的價值
完全揹包：同01，不過，每種物品可以拿無限次
多重揹包：就是在原本的揹包基礎上，對每種物品的個數進行限制。
即：給出物品的重量、價值以及個數。
統一解釋：w[i]表示i物品的重量（體積） v[i]表示i物品的價值
01揹包
我們直接對於所有物品遍歷，再遍歷所有的剩餘容量遞推即可。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 50;
int w[maxn];
int v[maxn];
int dp[maxn] = {0};
//dp[i],i容量的最大價值
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);//關閉同步流，使得cin，cout速度加快
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];//輸入第i個物品的重量，價值
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{//遍歷所有的物品
for(int j = m; j >= w[i]; j--)
{//容量從最大遍歷到當前物品
dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]] + v[i]);
//不拿 拿 = 減去當前物品體積， + 價值
}
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}
完全揹包
沙雕方法
我們只需要在01揹包的基礎之上，暴力每種物品可能取多少個即可
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 50;
int w[maxn];
int v[maxn];
int dp[maxn] = {0};
//dp[i],i容量的最大價值
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);//關閉同步流，使得cin，cout速度加快
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];//輸入第i個物品的重量，價值
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{//遍歷所有的物品
for(int j = m; j >= w[i]; j--)
{//容量從最大遍歷到當前物品
for(int k = 0; k * w[i] <= j; k++)
dp[j] = max(dp[j],dp[j-k*w[i]] + k*v[i]);
//不拿 拿 = 減去當前物品體積， + 價值
}
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}
當然，上述的暴力方法在數據量特別大的時候容易超時，所以我們需要優化
如何去取代每一個容量都暴力物品的個數呢？
反着遞推！！！
爲什麼？？
當我們從w[i]到m遍歷剩餘容量時，如果取當前1個物品會使我們的價值變大，當前的dp[j] = dp[ j - w[i] ] + v[i];
而我們是從小到大遍歷的，這個時候dp[ j - w[i] ]我們已經知道他的大小了（在這個容量的時候還取不取i這個物品也決定了）。
由此可以避免單純的瞎暴力
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 50;
int w[maxn];
int v[maxn];
int dp[maxn] = {0};
//dp[i],i容量的最大價值
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);//關閉同步流，使得cin，cout速度加快
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];//輸入第i個物品的重量，價值
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{//遍歷所有的物品
for(int j = w[i]; j <= m; j++)
{//從小到大遍歷剩餘容量即可
dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]] + v[i]);
//不拿 拿 = 減去當前物品體積， + 價值
}
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}
多重揹包
在完全揹包的基礎之上限制每種物品的個數，所以我們不可以去從小到大地遞推了（因爲不知道物品個數剩多少）
將 一種物品多個 轉化成 多種物品（每種一個）
使用二進制的思想！！
已知，每個數都可以用二進制的形式來表示，對於給定的n，我們只要把它分解爲從2的x 次冪的數，（最後剩下的一個直接補齊，不要求2^x）就可以組成任意件小於等於x的數。
比如：一個物品，重量爲2，價值爲3，個數爲5
我們把這個物品的個數5分解成：1 2 2
這5個物品轉化成：
物品A 重量爲2 * 1，價值爲3 * 1，個數1
物品B 重量爲2 * 2，價值爲3 * 2，個數1
物品C 重量爲2 * 2，價值爲3 * 2，個數1
這樣子可以很大程度的將個數n轉化成log（n）
等到都轉化完成後，我們就把他當做01揹包寫即可
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 250;
struct node
{
int p,h,c;
}a[maxn];
int w[maxn*10],v[10*maxn];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin >> t;
while(t--)
{
int n,m;
cin >> n >> m;
int z = 0;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> a[i].p >> a[i].h >> a[i].c;
for(int j = 1; j <= a[i].c; j*=2)//把所有可能都記錄下來
{//二進制優化
//1,2，4,8,16......
w[z] = a[i].p * j;
v[z] = a[i].h * j;
z++;
a[i].c -= j;
}
if(a[i].c)//二進制優化之後，剩下一個數，無論是多少，直接把他當成一個物品就行
{
w[z] = a[i].c *a[i].p;
v[z] = a[i].c * a[i].h;
z++;
}
}
int dp[105] = {0};//表示花i塊錢，最多的重量
for(int i = 0; i < z; i++)
{
for(int j = n; j >= w[i]; j--)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout << dp[n] << endl;
}
return 0;
}
排版抓瞎請見諒，如有問題歡迎指出。