【C語言->數據結構與算法】->樹與二叉樹概念&哈夫曼樹的構造

Ⅰ 樹

由於樹的應用場合很少，不是很實用，所以在此只做簡單介紹。

A. 樹的概念

樹狀圖是一種數據結構，它是由n（n>=1）個有限結點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因爲它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：
每個結點有零個或多個子結點；沒有父結點的結點稱爲根結點；每一個非根結點有且只有一個父結點；除了根結點外，每個子結點可以分爲多個不相交的子樹

樹的存儲結構：非線性結構，一對多

關於樹，有幾個相關的詞需要了解：節點， 葉子節點， 節點的度，樹的度，我簡單介紹一下有關樹的這幾個詞。

節點的度：一個節點的子節點數量，稱爲該節點的度。
葉子節點：度爲0的節點。
節點(非葉子節點)：度不爲0的節點。
樹的度：樹中節點的度的最大值。

以以下這個樹爲例，我們來搞清楚關於樹的這幾個名詞。

樹的度：4
樹的層數(高度，深度)：4
樹中的節點總數：18
葉子節點數：11

B. 樹的表達形式（存儲結構）

由於樹的每一個節點的最大子節點數量是不確定的，意味着其子節點數量不確定，因此，很難給出一個相對穩定的存儲結構。

typedef struct TREE_NODE {
		USER_TYPE data;
		int childCount;
		struct TREE_NODE **children;
	}TREE_NODE;

USER_TYPE 根據用戶需要存入的數據類型改變。

也可以用連續存儲空間表示一棵樹，如上面這顆可以表示爲👇

左邊一列爲下標。

但是這樣表示有個很大的缺陷：
當對樹中的節點做刪除操作時，不能移動其它節點，會造成空間浪費。

所以由於樹的操作複雜且耗時，所以樹的應用場合很少。

C. 樹的遍歷

樹的遍歷：無缺失、不重複地訪問樹中所有的節點，稱爲樹的遍歷。

a. 廣度優先遍歷（隊列）

	將根節點入隊列;
	while (隊列非空) {
		隊首節點N出隊列，並訪問;
		將N節點的所有子節點入隊列;
	}

以下圖的樹爲例

按照上面僞代碼的步驟，先將根節點入隊列
[A]
隊首節點N出隊列，並訪問;
A  [ ]
將N節點的所有子節點入隊列;
[B, C, D]
隊首節點N出隊列，並訪問;
B  [C, D]
將N節點的所有子節點入隊列;
[C, D, E, F]
按照這樣循環，就可以得到這樣的結果：



這樣就完成了廣度優先遍歷。

b. 深度優先遍歷（堆棧）

	將根節點入棧;
	while (棧非空) {
		棧頂節點N出棧，並訪問;
		將N節點的所有子節點入棧;
	}

同樣還是這個圖

按照上面僞代碼的步驟，先將根節點入棧。
(A)
棧頂節點N出棧，並訪問;
A  ()
將N節點的所有子節點入棧;
(B, C, D)
然後再循環，棧頂節點N出棧，並訪問;
B  (C, D)
將N節點的所有子節點入棧;
(E, F, C, D)
按此循環，將得到以下結果👇


這樣就完成了深度優先遍歷。

Ⅱ. 二叉樹

A. 二叉樹的有關概念

首先我們需要明確一件事情，二叉樹不是樹！

在計算機科學中，二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

一棵深度爲k，且有2^k-1個結點的二叉樹，稱爲滿二叉樹。這種樹的特點是每一層上的結點數都是最大結點數。

完全二叉樹是效率很高的數據結構，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對於深度爲K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度爲K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之爲完全二叉樹。
若設二叉樹的深度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第 h 層所有的結點都連續集中在最左邊，這就是完全二叉樹。如下圖。

完全二叉樹有以下幾種形態：

二叉樹和樹最大的區別是：二叉樹嚴格區分左右孩子

三個節點能構成幾種二叉樹？答案是5種。

B. 二叉樹中相關公式

N₀ = N₂ + 1, 即度爲0的節點數等於度爲2的節點數加1。

一顆高度爲h的二叉樹中，節點個數最多是2^h - 1

一顆滿二叉樹的第h層的節點個數：2^h-1

高h的滿二叉樹的節點個數：2^h - 1

一個一維數組可以看成是一顆完全二叉樹。
一顆擁有n個節點的完全二叉樹，其最後一個非葉子節點的編號(從0開始編號)：n / 2 - 1;
一顆擁有n個節點的完全二叉樹，且n爲偶數，其葉子節點的個數爲：n₀ = n_總 / 2;
假設完全二叉樹節點編號從0開始，則父節點與子節點(若存在的話),其編號的關係爲：假設父節點編號爲t，則其左孩子節點編號爲2 * t + 1,其有孩子節點編號爲2 * t + 2。

C. 二叉樹的存儲結構

typedef struct B_TREE_NODE {
		USER_TYPE data;
		struct B_TREE_NODE *leftChild;
		struct B_TREE_NODE *rightChild;
	}B_TREE_NODE, B_TREE;

有一個需要警惕的寫法👇

typedef struct B_TREE_NODE {
		USER_TYPE data;
		struct B_TREE_NODE *leftChild;
		struct B_TREE_NODE *rightChild;
	}B_NODE, *B_TREE;

有的資料甚至教材上直接在此定義了*B_TREE,這個寫法對程序的可讀性造成了極大的影響，因爲這個類型並不能反映這是指針類型，有的材料爲了書寫方便這樣定義了指針，使得代碼無比醜陋。
在定義類型的時候一定要注意程序的可讀性以及合理性。

Ⅲ 哈夫曼樹及編碼

哈夫曼壓縮方式：頻度壓縮
假設一個文本文件全部由英文字母構成，那麼哈夫曼壓縮就是將出現次數(頻度)最高的字母用最短的編碼來表示。ASCII碼佔1byte，即8bit，那麼將其用2bit的編碼來取代，則每個字符會節省6bit的空間。

A. 構造哈夫曼樹

我用一個字符串當作例子來構造一棵哈夫曼樹。

egeaefebaeeauefffeeffeebe

a. 頻度統計

要構造一棵哈夫曼樹，我們需要先知道每個字符的頻度。

字符	頻度
a	3
b	2
e	12
f	6
g	1
u	1

b. 生成哈夫曼樹

我們需要找到最小頻度的節點，然後生成新節點，生成過程如下👇
第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

這樣，一棵哈夫曼樹就構造完成了。

B. 哈夫曼編碼

上一步我們構造出了一棵哈夫曼樹，根據這棵樹我們現在進行編碼。
首先，我們對方向編碼，可以向左是0向右是1，也可以反過來，這只是一個編碼規則。我定爲向左爲0.

接下來就是從根節點沿着這棵樹編碼。
比如e,從根節點向左一次就到了，所以e的編碼爲：0
同樣的，比如f,需要從根節點先向右，再向左，所以f的編碼是：10

按照以上規律，我們可以寫出哈夫曼編碼

字符	編碼
a	110
b	1110
e	0
f	10
g	11110
u	11111

所以egeaefebaeeauefffeeffeebe轉化成哈夫曼編碼爲：
011110011001001110110001101111101010100010100011100

哈夫曼編碼完成。

C. 解碼

解碼依舊是根據構造的哈夫曼樹，以及你制定的編碼規則。

011110011001001110110001101111101010100010100011100

根據這個編碼，我做幾個解碼。
從根節點，先向左，到了e，所以第一個是e，然後回到根節點。
向右，向右，向右，向右，向左，到了g，所以第二個是g，再回到根節點。

根據這個規律，按照之前構造的哈夫曼樹還原出這串字符串。
這就是解碼的實現。

關於哈夫曼編碼的應用，請看我後面的博文，用哈夫曼編碼完成文件的壓縮及解壓縮，是真真實實可以用的程序。
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