樹狀數組刷題記錄

其實樹狀數組一定要手動用補碼模擬lowBit，多模擬幾組就能有較好的理解，理解它爲什麼是這樣。
Pro1
單點修改，區間求和，n，m<=500000
a[i]表示i所管轄範圍內數的和。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,a[510000];
int lowBit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
    while(x<=n)
    {
        a[x]+=y;
        x+=lowBit(x);
    }
}
int getSum(int x)
{
    int ans=0;
    while(x>=1)
    {
        ans+=a[x];
        x-=lowBit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        add(i,x);
    }
    while(m--)
    {
        int op,x,y;
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
            add(x,y);
        else    
        {
            if(x>y)
                swap(x,y);
            printf("%d\n",getSum(y)-getSum(x-1));
        }
    }
    return 0;
}

Pro2
區間加法，單點查值。
a[i]表示i所管轄範圍內每個值都要加上多少。一個元素被很多其他元素管轄，因此每個都要累計。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 510000
using namespace std;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN];
int lowBit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
    while(x>=1)
    {
        b[x]+=y;
        x-=lowBit(x);
    }
}
int get(int x)
{
    int ans=0;
    while(x<=n)
    {
        ans+=b[x];
        x+=lowBit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int t=1;t<=m;t++)
    {
        int op,x,y,z;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x-1,-1*z);
            add(y,z);
        }
        else
        {
            scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",a[x]+get(x));
        }
    }
    return 0;
}

Pro3
給出n個點，每個點分別求有多少點在它左下角。
首先思考問題的簡化版：有多少個點在它的左邊。按x排一遍序即可，每次輸出它前面有多少個數。那麼以此爲基礎，我們需要剔除前面y比它大的點。這樣問題就轉化成了，每次詢問前面y小於等於它的數有多少個。那麼考慮每次詢問時輸出b[1-y]的和，然後加入使b[y]++，這樣就轉化成了單點修改區間求和的問題，使用樹狀數組解決。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int x,y;
}a[110000];
int n,maxy=-1,b[110000],level[110000];
int cmp(const void *xx,const void *yy)
{
    node d1=*(node *)xx,d2=*(node *)yy;
    if(d1.x>d2.x)return 1;
    if(d1.x==d2.x)
    {
        if(d1.y>d2.y)return 1;
        return -1;
    }
    return -1;
}
int lowBit(int x)
{
    return x&-x;
}
int get(int x)
{
    int ans=0;
    while(x>=1)
    {
        ans+=b[x];
        x-=lowBit(x);
    }
    return ans;
}
void add(int x)
{
    while(x<=maxy)
    {
        b[x]++;
        x+=lowBit(x);
    }
    return ;
}
int main()
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(level,0,sizeof(level));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
        a[i].x++;a[i].y++;
        if(a[i].y>maxy)
            maxy=a[i].y;
    }
    qsort(a+1,n,sizeof(node),cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        level[get(a[i].y)]++;
        add(a[i].y);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d\n",level[i]);
    return 0;
}

Pro4
給出n條線段，求每條線段在多少條其他線段裏面。注意，線段兩端都剛剛好對齊不能算作在裏面。
假設線段2在線段1裏面，那麼就要滿足x1<=x2，y1>=y2（且x，y都相等時不能算）。如果我們把x與y都當作座標，那麼問題就轉化成了對於每一個點，有多少個點在其左上角。同樣地按x從小到大排，讓每個加入的點詢問y的值，然後爲1-y都加上1。轉換爲區間加法，單點查值。注意x和y都相等的時候取前面的值，避免重複。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int id,x,y;
}a[110000];
int n,maxy=-1,b[110000],ans[110000];
int cmp(const void *xx,const void *yy)
{
    node d1=*(node *)xx,d2=*(node *)yy;
    if(d1.x>d2.x)return 1;
    if(d1.x==d2.x)
    {
        if(d1.y<d2.y)return 1;
        return -1;
    }
    return -1;
}
int lowBit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
    while(x>=1)
    {
        b[x]+=y;
        x-=lowBit(x);
    }
    return ;
}
int get(int x)
{
    int ans=0;
    while(x<=maxy)
    {
        ans+=b[x];
        x+=lowBit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    for(;;)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
            break;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i].id=i;
            scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
            a[i].x++;a[i].y++;
            if(a[i].y>maxy)
                maxy=a[i].y;
        }
        qsort(a+1,n,sizeof(node),cmp);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(a[i].x==a[i-1].x&&a[i].y==a[i-1].y)
                ans[a[i].id]=ans[a[i-1].id];
            else ans[a[i].id]=get(a[i].y);
            add(a[i].y,1);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

Pro5
給出一個矩陣，n<=1000，元素只有0和1兩種狀態，兩種操作，分別是異或一個子矩陣與單點查值。
題意可以改成：異或改爲爲該子矩陣所有元素+1，查值輸出該點值%2。
那麼子矩陣修改怎麼做呢？
考慮一維的情況，我們給x-y加上1，就相當於add(y,1)，add(x-1,-1)。也就是說去掉不需要的部分。
考慮二維的情況，我們需要爲(x,y)到(z,k)加上1。
設add(x,y)爲將(1,1)到(x,y)全都加上1。首先add(z,k)，於是1，2，3，4全部加上了1。
接下來我們試着減去2，3。應當給(1,1)到(z,y)加上-1對不對？
但是這題由於是輸出%2，所以-1和+1都是一樣的。因此我們add(z,y)就好了。
現在就剩下2了。我們add(x,k)即可…
等等，1好像加了三次。偶數次不會影響該區域，奇數次會啊。
那麼就給1再加上1唄。add(x,y)。
搞定。
二維樹狀數組內，a[i][j]表示它管轄的範圍是a[i-lowBit(i)][j-lowBit(j)]到a[i][j]。因此與一維的唯一不同就是多for了一遍（理解爲什麼改成這樣可能有點難，多想想）。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
char ss[11];
int n,a[1100][1100];
int lowBit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int y,int val)
{
    for(int i=x;i>=1;i-=lowBit(i))
        for(int j=y;j>=1;j-=lowBit(j))
            a[i][j]+=val;
    return ;    
}
int get(int x,int y)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i<=n;i+=lowBit(i))
        for(int j=y;j<=n;j+=lowBit(j))
            ans+=a[i][j];
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        int m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        while(m--)
        {
            scanf("%s",ss+1);int x,y,z,k;
            if(ss[1]=='Q')
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\n",get(x,y)%2);
            }
            else
            {
                scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&k);
                add(z,k,1);
                add(z,y-1,1);
                add(x-1,k,1);
                add(x-1,y-1,1);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

Pro6
誰說線段樹練習題就一定要用線段樹做…？
給出數列，兩種操作，區間加法，區間求和。
t1[i]表示a[i]與a[i-1]的差。
比如我們要求1-5的值，是不是要求出t1[1]*5+t1[2]*4…+t1[5]*1呀？
我們先求出(t1[1]+t1[2]…+t1[5])*(5+1)。這樣算出的結果每項都有6個。但是我們不需要這麼多啊，第一項我們算多了一個，第二項算多了兩個…有沒有什麼快捷的方法減掉它？
t2[i]表示t1[i]*i。直接減去（t2[1]+t2[2]…+t2[5]）即可。
那麼現在的問題就變成了快速求t1[1]加到t1[x]與t2[1]加到t2[x]了。
樹狀數組搞定。
記得開longlong。
代碼

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 210000
#define LL long long
using namespace std;
int n,a[MAXN];
LL b[MAXN],c[MAXN];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void addB(int x,int y)
{
    while(x<=n)
    {
        b[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
    return ;
}
void addC(int x,int y)
{
    while(x<=n)
    {
        c[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
    return ;
}
LL getB(int x)
{
    LL ans=0;
    while(x>=1)
    {
        ans+=b[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
LL getC(int x)
{
    LL ans=0;
    while(x>=1)
    {
        ans+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        addB(i,a[i]-a[i-1]);
        addC(i,(a[i]-a[i-1])*i);
    }
    int m;
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        int op,x,y,z;
        scanf("%d",&op);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            addB(x,z);
            addB(y+1,-1*z);
            addC(x,z*x);
            addC(y+1,-1*z*(y+1));
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%lld\n",(getB(y)*(y+1)-getC(y)) - (getB(x-1)*(x)-getC(x-1)) );
        }
    }
    return 0;
}

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