透視投影的推導

概述

投影變換完成的是如何將三維模型顯示到二維視口上，這是一個三維到二維的過程。你可以將投影變換看作是調整照相機的焦距，它模擬了爲照相機選擇鏡頭的過程。投影變換是所有變換中最複雜的一個。

視錐體

視錐體是一個三維體，他的位置和攝像機相關，視錐體的形狀決定了模型如何從camera space投影到屏幕上。最常見的投影類型-透視投影，使得離攝像機近的物體投影后較大，而離攝像機較遠的物體投影后較小。透視投影使用棱錐作爲視錐體，攝像機位於棱錐的椎頂。該棱錐被前後兩個平面截斷，形成一個棱臺，叫做View Frustum，只有位於Frustum內部的模型纔是可見的。

透視投影的目的

透視投影的目的就是將上面的棱臺轉換爲一個立方體（cuboid），轉換後，棱臺的前剪裁平面的右上角點變爲立方體的前平面的中心（下圖中弧線所示）。由圖可知，這個變換的過程是將棱臺較小的部分放大，較大的部分縮小，以形成最終的立方體。這就是投影變換會產生近大遠小的效果的原因。變換後的x座標範圍是[-1, 1]，y座標範圍是[-1, 1]，z座標範圍是[0, 1]（OpenGL略有不同，z值範圍是[-1, 1]）。

透視投影矩陣推導

下面來推導一下透視投影矩陣，這樣我們就可以自己設置投影矩陣了，就可以模擬神奇的D3DXMatrixPerspectiveLH函數的功能了。那麼透視投影到底做了什麼工作呢？這一部分算是個難點，無論是DX SDK的幫助文檔，還是大多數圖形學書籍，對此都是一帶而過，很少有詳細討論的，早期的DX SDK文檔還討論的稍微多一些，而新近的文檔則完全取消了投影矩陣的推導過程。

我們可以將整個投影過程分爲兩個部分，第一部分是從Frustum內一點投影到近剪裁平面的過程，第二部分是由近剪裁平面縮放的過程。假設Frustum內一點P（x,y,z）在近剪裁平面上的投影是P'（x',y',z'），而P'經過縮放後的最終座標設爲P''(x",y",z")。假設所求的投影矩陣爲M，那麼根據矩陣乘法可知，如下等式成立。

PM=P''，即

先看第一部分，爲了簡化問題，我們考慮YOZ平面上的投影情況，見下圖。設P（x, y, z）是Frustum內一點，它在近剪裁平面上的投影是P'（x', y', z'）。（注意：D3D以近剪裁平面作爲投影平面），設視錐體在Y方向的夾角爲Θ。

 

 由上圖可知，三角形OP'Q'與三角形OPQ相似，於是有如下等式成立。

在看第二部分，將P'縮放的過程，假設投影平面的高度爲H，由於轉換後cuboid的高度爲2。所以有

又因爲投影平面的縱橫比爲Aspect，所以

最後看z''，因爲在光柵化之前，我們需要對z座標的倒數進行插值，所以可以將z''寫成z的一次表達式形式，如下

在映射前，z的範圍是[n,f]，這裏n和f分別是近遠兩個剪裁平面到原點的距離，在映射後，z''的範圍是[0,1]，將數據代入上面的一次式，可得下面的方程組

解這個方程組得到

所以

整理一下得

將X'',y'',z''代入最開始的矩陣乘法等式中得

由上式可見，x'',y'',z''都除以了Pz,於是我們將他們再乘以Pz（這並不該變齊次座標的大小），得到如下等式。

注意這裏，x即Px，y即Py，z即Pz，解矩陣的每一列得到

於是所求矩陣爲

代碼

一般來說，在程序中我們通常給定四個參數來求透視投影矩陣，分別是y方向的視角，縱橫比，近剪裁平面到原點的距離及遠剪裁平面到原點的距離，通過這四個參數即可求出上面的矩陣，代碼如下。

D3DXMATRIX BuildProjectionMatrix(float fov, float aspect, float zn, float zf)
{
    D3DXMATRIX proj;
    ZeroMemory(&proj, sizeof(proj));

    proj.m[0][0] = 1 / (tan(fov * 0.5f) *aspect) ;
    proj.m[1][1] = 1 / tan(fov * 0.5f) ;
    proj.m[2][2] = zf / (zf - zn) ;
    proj.m[2][3] = 1.0f; 
    proj.m[3][2] = (zn * zf) / (zn - zf);

    return proj ;
}

矩陣求解完畢，現在可以用如下代碼試試效果，這和使用D3D函數D3DXMatrixPerspectiveFovLH所得效果是一致的。

D3DXMATRIX proj = BuildProjectionMatrix(D3DX_PI / 4, 1.0f, 1.0f, 1000);
g_pd3dDevice->SetTransform(D3DTS_PROJECTION, &proj) ;

Happy Coding!!!

摘自：http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/07/25/2582119.html