輾轉相除法證明及複雜度計算

輾轉相除法是計算兩個數最大公約數（Greatest conmmon divisor）的一種對數複雜度算法。

問題：有兩個正整數 x , y ，求 gcd（x,y）:

算法證明：

設 x > y ,  且 x = r + y * c , 其中 r  >= 0, c >= 0 ;    

1. if r = 0  then gcd( x,y) == y 爲結束條件）

2. if c = 0  then 算法沒有前進

3. if r > 0 && c >0 then r = x - c * y , 

易知 ： 如果d 爲 x, y的公約數， 則必爲r = x - c*y 的公約數 ，即 x,y 的公約數必爲 y, r 的公約數；

如果e 爲 r和y的公約數, 有 r / e = x / e - c * y / e, r / e , c*y/e 爲正整數， x / e 也爲正整數，即y, r的公約數必爲x,y的公約數；

綜上，x,y的最大公約數等價於y, r的最大公約數由此易得遞歸算法：

int gcd ( int x, int y )
{
	if( x < y )
		swap( x, y );
	int r =  x % y;
	if( r == 0 )
		return y;
	else
		return gcd( y , r  );
}
int main()
{
	cout<< gcd( 9, 15 );
}

算法複雜度：設 x > y ,  且 x = r + y * c , 其中 r = x % y , c > 0 ;

        得：x > r *( c+1 ) >  2 * r ;   

        即： 經過兩次迭代， x至少縮小一倍，算法複雜度爲 2*log2（N）;