字符串匹配算法——KMP算法浅浅析

1 从最简单的想法开始

现有两个字符串text、pattern，需要从text中查找是否存在一个连续的字串和pattern相等，如果有的话就返回第一个查找到的字串的起始位置。如果不考虑效率的话，这确实是一个非常简单的任务，一个最简单的想法是两层循环比对，如下图所示：

2 利用模式串自身的特点来优化

假如模式串有着这样一个特点，在下标属于[0, j)的范围内有完全相等的前缀和后缀：

此时，在与text比对时，如果在下标j处发生失配，那么我们还需要从头开始比对吗？当然不需要，我们可以直接从下标t开始与text中失配处的字符进行比较，还是用图来说明：

为什么可以这么做，上图已经描述的很明白了，因为标记为黄色的部分是相等的，无需再重复比对。值得一提的是，下标j之前可能存在多对长度相等的前缀和后缀，我们应该选择其中最长的那一对，这样不会错过任何可能的情况。

3 利用next数组优化串匹配

在上一节的例子中，在下标j处发生失配，只需把记录模式串当前下标的变量的值由j修改为t然后继续比对。j和t之间是存在着联系的，下标j唯一映射到一个值t，这个值的含义是：在[0, j)的范围内，长度为t的前缀和等长的后缀完全相同。

既然j对应t，那么不难想到其它下标也对应着一个值，如果我们把这个对应关系全部找出来并保存在一个名为next的数组中（next[j]的值为t），那么这个数组可以用于优化串匹配算法，即在失配时将下标的值修改为以它为索引在next数组中的值，如下面的代码片段所示：

/* 匹配 */
int i = 0, j = 0;
while ((i < text_len) && (j < pattern_len)) {
     if ((j < 0) || (haystack[i] == needle[j]))
         ++i, ++j;
     else
         j = next[j];
 }

4 构造next数组

那么问题来了，next数组如何构建？我们可以从next[j]和next[j+1]之间的关系入手。如果pattern[t] == pattern[j]则有下图：

不难看出，此时next[j+1] = next[j] + 1。

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如果pattern[t] != pattern[j]呢？先不着急回答这个问题，我们先考虑next[t]的值，不妨设其值为t'，则说明在[0, t)的范围内，长度为t'的前缀和等长的后缀完全相同，有下图：

稍加推导即可得到下面的关系：

这时我们发现如果pattern[t'] == pattern[j]，那么next[j+1] = next[t] + 1，如果不能立马想到这一点，不妨看下图：

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如果pattern[t'] != pattern[j]呢？继续按照上面的思路看next[t']，就像俄罗斯套娃那样。构建next数组的代码如下：

/* 构建next数组 */
vector<int> next(pattern_len, -1);
 for (int i = 0, index = -1; i < needle.size() - 1; ) {
     if ((index < 0) || (needle[i] == needle[index]))
         next[++i] = ++index;
     else
         index = next[index];
 }

需要注意的是，next[0]作为哨兵被初始化为-1，把实际不存在的pattern[-1]假想为一个通配符，这样在逻辑上是合理的，可以用一个实际的例子来体会。

5 完整的程序

借助leetcode的28号题的测试用例，以下用KMP算法实现字符串匹配的程序可以通过所有用例：

int strStr(string haystack, string needle) {
     if (needle.empty())
         return 0;

     int text_len = haystack.size(), pattern_len = needle.size();
     
     /* 构建next数组 */
     vector<int> next(pattern_len, -1);
     for (int i = 0, index = -1; i < needle.size() - 1; ) {
         if ((index < 0) || (needle[i] == needle[index]))
             next[++i] = ++index;
         else
             index = next[index];
     }

     /* 匹配 */
     int i = 0, j = 0;
     while ((i < text_len) && (j < pattern_len)) {
         if ((j < 0) || (haystack[i] == needle[j]))
             ++i, ++j;
         else
             j = next[j];
     }

     return (j == needle.size()) ? (i - j) : -1;
}

6 参考文献

[1] 邓俊辉老师的数据结构课程