图论基础知识总结（二）

本来一开始没想写总结的，但是感觉之前写的逻辑比较混乱，然后重点内容不突出，怕回头误导别人，而且自己看着也不方便，所以决定把之前的总结一下（会包括之前的大部分内容），然后把逻辑不清的黑历史删了。o(*￣︶￣*)o

§各种各样的图  

      

     ※简单图和多重图

先讲个题外话，活跃一下气氛……

百度简单图的我充满了绝望……

好吧，可以理解。

闲言少叙，什么是简单图？提到简单图就不得不提到他的对立面，也就是多重图。

------------------------------------定义------------------------------------------------------

在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终点相同(也就是它们的的方向相同)，称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不含环的图称为简单图。

---------------------------------------解释-------------------------------------------------------

所谓简单图，对于无向图而言就是：任取两顶点，如果这两个顶点之间的边不超过一条就是简单图，否则为多重图。

换言之====》假设这个无向图是一张城市的地图，那么简单图就是这个城市极其不方便，想从A地到B地只有一条路可以走（但是所幸这条路不是单行道）。而多重图大家就可以联想一下北京或者上海四通八达的交通线路（这里好像不太合适，毕竟交通线路也有单向的）。

而对于有向图而言只有顶点相同且方向相同的才可以称为多重图（感觉还是可以照着无向图理解，总之，简单图看起来无比不方便，无论是无向图还是有向图，有向图尤为不便）。

下面放两张图片：

图三

图一就是简单图，图二即为多重图。

图三也是多重图，不过(a)是无向图，(b)是有向图

什么是多重图呢？

我们先看定义：

含有平行边的图称为多重图。也称若图中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则称为多重图。多重图的定义和简单图是相对的。

简单而言

①存在两点间有不止一条边

②或者干脆理解为非简单图︿(￣︶￣)︿//可能不是很准确，但也差不多了

最后小结一下（其实小结后面还要介绍别的）

上面介绍的是简单图和多重图，他们是一对相对的概念，什么叫相对的概念呢？举个栗子：就像人的性别，如果我们定义了某种性别叫做女，那么另一种性别肯定是男……

在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终点相同(也就是他们的方向相同)，称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不含环的图称为简单图。

    ※平凡图和非平凡图

平凡图(Trivial graph)指仅有一个结点的图，是离散数学与图论的范畴。如果图G是一个(1，0)图，则称为平凡图，或者说是由一个孤立点组成的图叫平凡图。否则称为非平凡图。

在图论中，有一个规定：至少有一个顶点才能称为图。===》这就说明：即使是最简单的图，至少也有一个顶点，那么我们把这种看起来很不像图的图（只有一个顶点，反正看起来很随意了，但是至少比什么都没有好）。

同时，注意：

这同时说明，在图论中是没有∅的，大家不要想了。

具体有什么用以后用到了会回来补充的。

       ※母图和子图（+补图）

要想理解生成子图和导出子图，首先得了解一个概念——母图是什么？（就像洋务运动的时候容闳跟曾国藩说，要想自己造机器，首先得有一个母机）

子图

什么是子图呢？

首先，大家在高中学集合的时候肯定接触过子集，真子集和非空真子集（我记得高中老师特别喜欢在判断是否可以是空集这里挖坑），回忆一下子集，那么就大概能理解子图的概念了。

子图的定义

设

为两个图（同为无向图或同为有向图），若

且

，则称G'是G的子图，G是G‘的母图，记作

，又若

且

，则G'称是G的真子图，若

，则称G'是G的生成子图。

设

为一图，

且

,称以

为顶点集，以G中两个端点都在

中的边组成边集

的图为G的

导出子图，记作

，又设

且

，称以

为边集，以

中边关联的顶点为顶点集

的图为G的

导出的子图，记作

。

在图1中，设G如图1(a)所示，取

，则

的导出子图

如图1(b)所示，取

，则

的导出子图

如图1(c)所示。

图G＝[E,V]（E为“边”集.V为“顶点”集）,G′＝[E′,V′],
如果：E′≤E.（≤：借用符号,意思是包含于）,V′≤V,
则G′叫G的子图.
如果：E′≤E,而V′＝V.（!）,
则G′叫G的生成子图.
区别就是生成子图的顶点,与原图完全一样,而子图确可以少一些.
生成子图的英译是：spanning subgraph.
induced subgraph的汉译是“诱导子图”,或者“导出子图”.两者不同.
而后者的意思是：G′＝[E′,V′].
V′≤V,（可以少,也可以不少）.对于V′的所有顶点,只要在G中有连边,这个边就在G′出现.也说G′是G的由V′诱导出的子图.记为G′＝G[V′].

导出子图

假设V’是V（G）的一个非空子集，以V'为顶点集，以两端点均在V'中的边的全体为边集所组成G的子图，称为G的由V'导出的子图（Induced Subgraph），记为G[V']。图中H1是由{v2,v5,v6,v7}导出的子图，即H1=G[{v2,v5,v6,v7}]。

导出子图G[V-V']记为G-V'，它是从G中删除V'中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。

若V'={v}，长把G-{v}简记为G-v。

此处安利一个博客：图--->图

补图

设

为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图的

的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作

。

若图

，则称G是自补图。

图2中，（b）和（c）互为补图，（a）是自补图。

定理（来自百度百科）：

若n阶图G是自补图，则

或

，k为非负整数，且图G有

条边。

证明：因为n阶图G是自补图，所以G与

同构。于是完全图

的

条边将各有一半为G与

的边，即G与

均有

条边。而图G的边数是非负整数，故4一定能整除

，而连续的两个整数n-1与n总是一个为奇数，一个为偶数，故

或

（k为非负整数）。证毕。

    ※完全图

在图论的数学领域，完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。完整的有向图又是一个有向图，其中每对不同的顶点通过一对唯一的边缘（每个方向一个）连接。n个端点的完全图有n个端点以及n(n − 1) / 2条边，以Kn表示。它是(k − 1)-正则图。所有完全图都是它本身的团（clique）。

按照定义，我们可以类比一下简单图，可以这么说，完全图一定是简单图，因为完全图符合简单图的定义，即每两个顶点之间只有一条边，那么我们可不可以说简单图一定是多重图呢？显然不能，退一步说，如果二者等价，那么在这么漫长的岁月里，“懒惰的”数学家肯定只会保留一个名字，而不会留下两个概念。现在提出反例就很好理解了，我们假设现在有一个完全图，这个完全图有A B两个顶点，A B两个顶点之间有一条边，此时当然这还是一个完全图，同时也是简单图，但是，如果我们增加一个顶点C，将顶点C与顶点A相连，而不连接BC，此时，这张图就不是完全图了，但她还是简单图。

n个顶点的完全图表示为

。 一些消息来源称，这个符号中的字母K代表德语单词komplett，但完全图的德文名称vollständigerGraph不包含字母K，其他来源则表示符号表示 Kazimierz Kuratowski图论。

具有

个边（三角数），并且是维度为n-1的常规图。所有完全图都是它们自己的最大组。 它们是最大化连接的，因为断开图形的唯一顶点是所有的顶点集。完全图的补码图是一个空图。

无向完全图：

无向完全图是用n表示图中顶点数目的一种图，一张图中每条边都是无方向的。^[2] 

---定义---

用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目。若<vi,vj>∈VR，则vi≠vj，那么，对于无向图，e的取值范围是0到，有条边的无向图称为完全图。

---解释---

直观来说，若一个图中每条边都是无方向的，则称为无向图。

（1）无向边的表示

无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。

【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。

（2）无向图的表示

【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：

V(G2)={v1，v2，v3，v4}

E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}

V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}

E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}

---注意---

在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。即若(v1，v2)或<vl，v2>是E(G)中的一条边，则要求v1≠v2。此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。

3．图G的顶点数n和边数e的关系

（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2

恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undirected Complete Graph)

（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。

恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。

注意：

完全图具有最多的边数。任意一对顶点间均有边相连。

有向完全图：

用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目。若<vi,vj>∈VR，则

≠

，那么，对于有向图，e的取值范围是0到

，有

条边的有向图称为有向完全图。

    ※空图

根据图论中图的定义：G=<V(G),E(G)>(V(G)是节点的有穷非空集合，E(G)是边集合)，则V(G)不能为空，空图是错误地将V(G)为空集作为一种情况列了出来（则E(G)也为空集），称为空图。

   ※正则图

正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图。

在图论中，正则图中每个顶点具有相同数量的邻点； 即每个顶点具有相同的度或价态。 正则的有向图也必须满足更多的条件，即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。 此外，奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。

如果一个图中的每个顶点的度是某一固定整数k，则称该图是k-正则图（k-regular）。正则图中δ（G）=Δ（G）。图1-12所示为1-正则图和3-正则图。

如图：