DP小结

DP小结

DP本质就是状态压缩——只记录和答案有关的值。

所以DP的解法大概就是：

①不断探索问题性质（数位DP体现得比较明显，如BZOJ1026 windy数，还有一道缺了题号的题）

②减少那些和答案有关的值的个数（比如要从题目中筛选信息来定出状态，列出方程）。

——scαpe

只是说说而已，DP并没有什么定式。

一些方法

这些方法说不定可以提供一些思路[滑稽]。

以下内容完全按照意识流顺序出现。

刷表法与填表法

举个例子来说，就是：

刷表法（也经常在状态压缩里面遇见，也许可以避免初始化）：当简单的状态不方便表示的时候，可以考虑刷表法，比如f[i+k]+=f[i]$f[i+k]+=f[i]$ 之类的。如f[i][j]=(@!∗‘./)∗f[i−1][j−1]$f[i][j]=(@!\ast ‘./)\ast f[i-1][j-1]$ 之类的神仙转移就可以用刷表法。比如一道缺了题号的题。

填表法：f[i]=f[i−1]...$f[i]=f[i-1]...$ 之类。

分解步骤

把一个大的东西分成很多个小块讨论。比如计算一堆链的权值和，一条链由很多线段构成，可以把每条线段对答案的贡献单独提出来算（BZOJ4033 树上染色）；比如求一堆数字的二进制位的xor,or,and...$xor,or,and...$ 值，可以按位运算，即把这一堆数的某一位提出来单独运算，最后把答案合起来……

单独计算枚举上限

防止时间复杂度退化。具体看题目咯，比如BZOJ4033 树上染色。

树形DP常用状态

状态中有一维表示以i$i$ 为根的子树。比如BZOJ4033 树上染色中的状态f[i][j]$f[i][j]$ 表示以i$i$ 为根的子树中有j$j$ 个黑点。

两两合并子问题（树形DP）

一棵树可以有很多儿子，这些儿子又有很多新儿子……（无限递归调用）设i$i$ 为树的根，它的n$n$ 个儿子分别为s1,s2,s3,...,sn$s_1,s_2,s_3,...,s_n$ 。那么按顺序以如下方式计算：

s1+s2;s1,s2+s3;s1,s2,s3+s4;...;s1,s2,s3...sn−1+sn$$s_1+s_2;s_1,s_2+s_3;s_1,s_2,s_3+s_4;...;s_1,s_2,s_3...s_{n-1}+s_n$$

把+号左边的部分看做一个整体，右边看做另一个整体，依次合并。最后一次合并之后就得到了以i$i$ 为根的树的相关值。比如BZOJ4033 树上染色。

前缀思想（数位DP）

求[a,b]​$[a,b]$ 中满足某一特征的数，可看为[1,b]−[1,a−1]​$[1,b]-[1,a-1]$ 两步。

例如：BZOJ1026 windy数 BZOJ1799 self 同类分布

嵌套DP

一些DP题，一次DP不够，还要在第一次DP的基础上再来一波DP。

比如BZOJ2287 消失之物，退揹包问题。

放一篇树形DP的总结

……

暂时就这些了吧？竟然哔哔了这么多，汗