Matlab-初級教程-系列1：matlab之入門教學視頻-3 數組和矩陣分析3

3.6矩陣的特徵和線性代數
1.方陣的行列式：把一個方陣看作一個行列式，並對其按行列式的規則求值，這個值就稱爲矩陣所對應的行列式的值
det(x),得到方陣x的行列式
2.特徵值，特徵向量
E=eig(A),求矩陣A的全部特徵值，組成向量E
[V,D]=eig(A),該函數計算矩陣的特徵值和特徵向量，返回值V和D爲倆個方陣，方陣V的每一列爲一個特徵向量，方陣D爲對角矩陣，對角線上的元素爲特徵值。
求伴隨矩陣特徵值的方式來解方程
p=[3 5 2 1],a=compan(p),x=eig(a)br/>3.對角陣，只有對角線上有非0元素的矩陣稱爲對角矩陣，對角線上元素相等的對角矩陣稱爲數量矩陣，對角線上元素都爲1的對角矩陣稱爲單位矩陣。
diag(a),提取矩陣a的主對角線元素，產生一個列向量
diag(a,k),提取第k條對角線的元素，組成一個列向量
4.上三角矩陣和下三角矩陣
上三角矩陣即矩陣的對角線以下的元素全爲0
triu(a),返回上三角矩陣
triu(a,k)，返回矩陣a的第k條對角線以上的元素
下三角矩陣即矩陣的對角線以上的元素全爲0
tril(a),tril(a,k)
5.矩陣的逆和僞逆，
1）對於方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得AxB=BxA=E(單位矩陣)，則稱A和B互爲逆矩陣，inv()函數求逆矩陣
2）如果矩陣A不是一個方陣，或者是一個非滿秩方陣時，沒有逆矩陣，但可以找到一個於A的轉置矩陣同型的矩陣B，使得同時滿足
AxBxA=A
BxAxB=B
此時稱B是矩陣A的違逆，也稱廣義逆矩陣，pinv()
6.矩陣的秩，有行秩和列秩。行秩是矩陣的行向量組成的極大無關組中行向量的個數。列秩是矩陣的列向量組成的極大無關組中列向量的個數。矩陣的秩反映了矩陣中各行向量之間和各列向量之間的線性關係。對於滿秩矩陣，如果秩等於行數其各行向量是線性無關的，如果秩等於列數其各列向量是線性無關的。
rank(a),得到矩陣a的秩
7.矩陣的跡，對角線元素之和，也等於矩陣的特徵值之和
trace(a),求矩陣的跡
8.矩陣的範數
1）1-範數,norm(a,1),計算矩陣a的1-範數，返回矩陣的列向元素和的最大值
2）2-範數,norm(a,2)或者norm(a),計算矩陣a的2-範數，返回矩陣的最大奇異數。當norm(a)特別耗費時間時我們可以用normest(a)求2-範數的估計值
3）無窮-範數,norm(a,inf),計算矩陣a的無窮-範數，返回矩陣的行向元素和的最大值
4）Frobenius-範數,norm(a,'fro'),該函數計算矩陣的Frobenius範數
9.矩陣的條件數，是用來判斷矩陣病態的一個量，矩陣的條件數越大，表明該矩陣越變態，否則該矩陣越良態。Hiblert矩陣就是有名的病態矩陣。
cond(a,1)，計算矩陣a的1-範數下的條件數
cond(a),或者cond(a,2)，計算矩陣a的2-範數下的條件數
cond(a,inf)，計算矩陣a的無窮-範數下的條件數
10.矩陣的標準正交基
b=orth(a),矩陣b的列向量組成了矩陣a的一組標準正交基
11.矩陣的超越函數
sqrtm()，計算矩陣的平方根
lgom()，計算矩陣的自然對數
expm()，計算矩陣的指數
funm()，計算矩陣的超越函數值
funm(a,@sin),funm(a,@cos),funm(a,@exp)=expm(a)
sqrt(a)該函數以矩陣的元素爲計算單元,sqrtm(a)該函數以矩陣爲計算單元
12.稀疏矩陣，matlab中對矩陣的存儲有兩種方式，完全存儲方式和稀疏存儲方式。完全存儲方式是將矩陣的全部元素按照矩陣的列存儲，如果矩陣中的元素大多數是零，會浪費很多的存儲空間。
稀疏存儲矩陣只是矩陣的存儲方式不同，其它的運算規則於普通矩陣是一樣的。用戶可以創建整型，雙精度，複數類型和邏輯類型的稀疏矩陣。稀疏矩陣不能通過函數自動生成,只能是普通矩陣轉換爲稀疏矩陣。定義在完全存儲方式下的運算只能產生完全存儲的矩陣，不論多少各元素爲0。在運算過程中，稀疏存儲矩陣可以直接參與運算，運算的結果也是稀疏矩陣，但是如果運算涉及到的矩陣不都是稀疏矩陣那存儲形式是完全存儲形式。
sparse:普通矩陣轉換爲稀疏矩陣
s=sparse(a),如果a也是稀疏矩陣那函數的調用就相當於s=a
s=sparse(m,n),產生m行n列且元素全是0的稀疏矩陣
S=sparse(i,j,s,m,n,nzmax),依次取i，j中的值最爲S的行標和列標，再把s中的值賦值到S中所對應的行標和列標，且最多有nzmax個非零元素。
full:稀疏矩陣轉換爲普通矩陣
nnz:矩陣中非0元素的個數
nonzeros:矩陣中非0元素值
d=nnz(s)/prod(size(s)):獲取非零元素的密度，非零元素的個數除以矩陣行列的乘積
issparse:測試矩陣是否爲稀疏矩陣
spy：圖形化顯示稀疏矩陣中非零元素
spalloc:爲稀疏矩陣分配內存空間
13.特殊稀疏矩陣
1）單位矩陣是一個具有稀疏特徵的矩陣，eye()產生的單位矩陣是完全存儲方式的矩陣。
2）speye(n),產生一個n行n列的單位稀疏矩陣
speye(m,n),產生一個m行n列的單位稀疏矩陣
3)spones()將稀疏矩陣中的非零元素替換爲1
spconvert()，將普通矩陣轉換我稀疏矩陣