解法
线性非时变(LTI)系统可被描述为
进行拉普拉斯变换得到:
有两种方法计算。
例:
计算。
方法1:
方法2:
的特征值有两个,。使 。如果等于那么,
;
。
因此我们有和
例:方程 的解为,
。
其中是的拉普拉斯反变换,我们已经通过上一个例子进行了计算。
且
- 离散化
离散化为:
其中:
等效状态方程
(1)
(2)
这里是一个映射在维实空间的常矩阵。
定义:为一非奇异矩阵,。
(3)
(4)
其中 (5),这个变换被称为等效变换。
(5)是由带入 和 到(1)、(2)得到的。
(1)(2)和(3)(4)具有相同的特征值。由 可得。
同时
, 转移矩阵相等。 这时两个状态方程零状态等效。
例一:
有状态方程
字母上的横线代表共轭复数。证明等式可以被变换成,,
其中,,,其中用到其中
。
(求出Q的逆,直接按(5)计算即可)
例二:
这两个状态空间方程是否等效?是否零状态等效?
和
(求特征值,若不相等则不等效。)
实现
每个线性非时变(LTI)系统可被描述为
(1)
同时,如果系统是集总的,其状态空间可被描述为:
(2)
如果状态方程已知,转移矩阵可被表示为:
(3)
其中被称为的实现。
定理:转移矩阵可实现,当且仅当是一个真有理矩阵。
(4)
- 如果为,为度。
(5)
- 如果是一个 有理矩阵,就存在它的实现,
(6)。
设多项式 (7)monic(最高次项的系数必须为1), 为 的所有元素最小公分母。
则 (8),
其中为 常矩阵。
可以得到:
(9)其中是单位矩阵。
为 的实现。
例一:有理矩阵 (10)被分解为一个常矩阵和有理矩阵。
1.根据(7)计算中需要的最小公分母。2.根据(8)计算。3.根据(9)计算的实现。
*特殊情况下,当是一个矩阵时,我们举一个的例子:
(11)
的实现为
(12)
例二:
只看(10)的第一列:
(13)
(14)
由(12):
(13)