Mesh Saliency論文閱讀

問題

判定mesh上各點的“重要程度”，這裏的重要程度，基本上是指在不同尺度（分辨率）下，幾何特徵的重要程度。

基本思想

在求解各點的平均曲率基礎上，計算該點平均曲率在鄰域內的顯著性。類似於二維圖像中金字塔的方法，建立三維模型的金字塔。

算法

假設我們已經計算得到了三維模型每個點上的平均曲率$\mathscr{C}(v)$，以高斯函數爲權重（實際上就是一個帶權的鄰域，但通過全局計算，避免了對鄰域直接求解），取$\sigma$爲高斯函數方差（或半徑），按照下式計算其高斯濾波後的平均曲率$G(\mathscr{C}(v), \sigma)$：

$G(\mathscr{C}(v), \sigma)=\frac{\sum_{x \in N(v, 2 \sigma)} \mathscr{C}(x) e^{-\|x-v\|^{2} / (2 \sigma^{2})}}{\sum_{x \in N(v, 2 \sigma)} e^{-\|x-v\|^{2} / (2 \sigma^{2})}}$

通過對不同$\sigma$的選取，事實上我們建立了三維模型的高斯金字塔。對於一個給定的$\sigma$，重要程度$\mathscr{S}(v)$計算方式如下：

$\mathscr{S}(v)=|G(\mathscr{C}(v), \sigma)-G(\mathscr{C}(v), 2 \sigma)|$

顯然，這和二維圖像中計算特徵點的方式也非常類似。

如果我們選擇了多個不同的$\sigma_i$，那麼我們也可以得到不同的$\mathscr{S}_i$。對於不同分辨率下的Saliency，我們通過加權求和得到最終的Saliency。加權的原則是，如果Saliency方差越大，權重越大，方差越小，權重越小。因此我們首先對$\mathscr{S}_i$歸一化，然後選出其中最大值$M_i$和平均值$\bar{m}_i$，權重就是$\left(M_{i}-\bar{m}_{i}\right)^{2}$。因此，最終的Saliency爲

$\mathscr{S}=\sum_{i} (M_i-\bar{m}_i)^{2} \mathscr{S}_{i}$

Saliency計算非常簡單，到這裏就結束了，所以下面是對重要性的兩個簡單應用。

應用：模型簡化

QSlim

首先介紹QSlim算法，然後講Saliency如何改進QSlim算法。QSlim算法基本思想，是每次合併一組相鄰的頂點，使得頂點數量越來越少。對於每一個頂點$v$，相鄰平面組成的幾何爲$P$。遍歷每一個$p \in P$，計算平面方程$ax+by+cz+d=0,a^2+b^2+c^2=1$，將四個係數表示成$p=(a~b~c~d)^T$。對於任何一點$x$，計算它到平面的距離爲$x^Tpp^Tx$。計算它到頂點$v$鄰近所有平面的距離之和，如果將$pp^T$寫成$Q_p$，則距離和爲$\sum_p x^TQ_px = x^T (\sum_p Q_p) x$。將$\sum_p Q_p$記做$Q_v$。

對於一對相鄰的點$(v_i,v_j)$，分別計算$v_i$到以$v_j$爲中心的所有面的距離，和$v_j$到以$v_i$爲中心的所有面的距離，並求和，得到$v_i^T Q_{v_j} v_i + v_j^T Q_{v_i} v_j$。如果我們要合併$v_i$和$v_j$到中間的一點$\bar{v}$，則$\bar{v}$對應的距離爲$\bar{v}^T (Q_{v_j} + Q_{v_i}) \bar{v}$（稱之爲Quadric）。對於每一條邊，我們計算這一$\bar{v}$和對應的距離和，將最小距離和的那一對邊進行合併。合併後，新的$Q_{\bar{v}} = Q_{v_i} + Q_{v_j}$，並更新所有會影響到的鄰近的邊的$\bar{v}$和Quadric值。

Saliency的改進

Saliency的改進是，包含模型特徵的點不應該過早地被合併。因此，它給Quadric值之上，額外增加了一個權重項，這個權重項附帶在每個頂點上，爲

$\mathscr{W}(v)=A(\mathscr{S}(v), \alpha, \lambda)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda \mathscr{S}(v) & \text { if } \mathscr{S}(v)>=\alpha \\ \mathscr{S}(v) & \text { if } \mathscr{S}(v)<\alpha \end{array}\right.$

即如果Saliency小於某一閾值$\alpha$，則權重就是Saliency值；如果大於閾值，則表示極其關鍵的特徵，因此需儘量不被合併，因此再額外增加一個比例係數$\lambda>1$。在原文中，作者取$\lambda=100$，$\alpha$爲第30大的saliency值。

注意到這個權重是加在頂點上的，對於邊$e(v_i,v_j)$，則權重爲$\mathscr{W}\left(v_{i}\right)+\mathscr{W}\left(v_{j}\right)$。

原文給了一個例子，見Figure 9，可以看到，在Saliency權重下，特徵得到了更好地保持。

應用：視角選擇

假設在視角$v$下，能看到的部分模型表面頂點集合爲$F(v)$。則對於視角下的Saliency總和$U(v)$，爲

$U(v)=\Sigma_{x \in F(v)} \mathscr{S}(x)$

顯然，最佳視角應該是$v_{m}=\operatorname{argmax}_v U(v)$。在Saliency算法之前，$U(v)$通常是所有可見頂點的平均曲率之和。

直接計算$v_m$會非常耗時，作者使用了梯度下降的方法，先隨機選擇一個視角$v(\theta,\phi)$，其中$\theta$和$\phi$分別表示經度和緯度。然後搜索附近的視角，選擇使Saliency和最大的一個，重複上述過程。多選幾個隨機初始點，重複過程。

結果顯示（見Figure 11），Saliency的視角選擇比直接平均曲率視角選擇要更好。