图的应用
1.最小生成树（研究问题：N个村庄修路连通，怎样花销最小让N个村庄连通）
一个连通图的生成树是该图的极小连通子图，通常为带权无向图
包含所有顶点，尽量少的边。
删除一条边则变为非连通图，增加一条边则会产生回路。
特点：
1.最小生成树不唯一，但该无向连通图中无相同权值边则最小生成树唯一；
2.最小生成树的权值之和唯一，即代价唯一；
3.该树顶点数为该连通图结点个数n，所有该生成树边为n-1。
常用生成树算法：
1.prim算法
2.Kruskal克鲁斯卡尔算法
两种算法都属于贪心算法。这也说明了生成树不唯一。
注：带权连通图的任一一个环中所包含的权值均不相同（充分不必要条件），则最小生成树唯一；
1.1prim算法
1.初始结点并加入顶点集U中；
2.遍历顶点集U中顶点，取指到向下一顶点的权值最小边且不造成回路，并将该下一顶点加入顶点集；
3.循环2直到所有顶点加入顶点集。
//V为结点集合
void Prim(G,T){
T=null;
U={v1};
while(U!=V){
edge,next_v =find_min_nextnode(U,V-U);//找到U中顶点到V-U中顶点最小边
T+=edge;//该边加入最小生成树
U+=next_v;//对应结点加入U集合
}
}
//时间复杂度O(V^2),不依赖E
[外链图片转存失败(img-I4qbXAVm-1568732822107)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\IMG_20190905_223948__01.jpg)]
1.2Kruskal算法
1.初始化所有边为堆
2.堆查找最小权值边，且不构成回路；并在堆集合删除该边；故选择最小权值边时间复杂度为O(logE)
3.循环2直至连通分量数为0，也就是T中边树为n-1;
//按权值递增的次序选择小而合适的边构造最小生成树
void Kruskal(G.V,T){
T = V;
numS = n;//连通分量数
while(numS > 1){
min_e = find_min_E(E);
if(该边在剩余堆集合中会构成回路){
T+=min_e;
numS--;
}
}
}
[外链图片转存失败(img-aCDU36QM-1568732822109)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\IMG_20190905_224034__01.jpg)]
1.3破圈法
2.最短路径（a村庄到b村庄所花最小开销到达的路径）
最短路径一定为简单路径，即路径中结点不重复。
对于无权图而言，两点之间边数最少的路径为最短路径；可用广度优先搜索查找最短路径；
对于有权图（可有向可无向），两点之间带权路径最短的为最短路径；
求解有权图最短路径的算法：
Dijkstra迪杰斯拉算法：求带权有向图的指定某一顶点到其他个个顶点的的最短路径，即求单源最短路径；
Floyd弗洛伊德算法：求带权有乡土所有顶点的之间的最短路径；
2.1Dijkstra算法
求某一顶点到其他个个顶点的的最短路径，即求单源最短路径；算法基于贪心策略，主体部分为一个双重循环，时间复杂度为O(V^2),
若要使用Dijkstra求解所有顶点之间的最短路径则指定V每一结点各使用一便Dijkstra算法。时间复杂度为O(V^3)，故dijkstra认为可以求解每对顶点之间的最短路径问题
注：Dijkstra不适用带负权值的图
算法思想：
集合S,先后顺序存放求得最短路径的结点
1）初始化：S={0}，0为V0源点结点,dist[i] =G.arcs[0]i]，i=1,2,… //V0到Vi结点的当前最短距离，限制为1步；
2）从V-S中选出结点Vj,Vj=Min{dist[i]|Vi属于V-S中}，选取当前限制步速到达结点中距离最短的结点加入S集合中,S=S+{j},即该轮得到最短路径的结点
3）限制步速+1，更新使V0结点限制步速到达任一结点的最短路径，dist[j]+G.arcs[j]k]<dist[k].则更新dist
4)重复2）3）操作n-1轮，直到所有结点包含在S中
注：Dijkstra求最短路径的“权值最小”和prim求最小生成树的“权值最小”的区别
Prim求最小生成树的“权值最小”是U集合中点到V-U集合中点的最小权值边；
最小生成树问题的图为带全无向图。 ·
而Dijkstra求最短路径的“权值最小”是源点到结点的的路径权值最小，即始终相对于选取的原点V0限制步速到指定结点的路径之和权值最小。
最短路径问题的图可为无向也可为有向。
最短路径例题：
[外链图片转存失败(img-gUxRCug5-1568732822110)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\Dijkstra_example.jpg)]
Dijkstra算法过程：
[外链图片转存失败(img-hHTE9NDI-1568732822111)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\Dijkstra_example2.jpg)]
依次求出1到5，4，2，3的最短路径
1-5：5；
1-5-4：7；
1-5-2：8；
1-5-2-3：9；
2.2Floyd算法
算法描述：
定义个n阶方阵序列A(-1),A(0),…,A(n-1),其中A(-1)为初始图 的邻接矩阵arcs[i]-[j]；
A(k)[i]-[j] = Min{A(k-1)[i]-[j],A(k-1)[i]-[k]+A(k-1)[k]-[j] }
时间复杂度为O(V^3).
Floyd允许图中带负权值的边，但不允许负权值边构成回路。而Dijkstra不适用带负权值的图。
[外链图片转存失败(img-VTf7jDAX-1568732822124)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\floyd.jpg)]
3.拓扑排序（
求解AOV网问题，有向无环图DAG图，顶点表示活动，边表示活动与活动之间存在联系；
金典研究问题：学生专业选课，顶点为课程，边为课程之间的关系，先修什么再修什么，拓扑排序给出结果,
即需要先完成什么才能继续干什么；
）
算法思想：
1.从有向无环图中选择一个没有前驱的顶点-即该顶点入度为0的顶点-输出；
2.从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边；
3.重复1，2直到该有向无环图为空或当前不存在无前驱的顶点为止，后者情况说明该有向图存在环，拓扑排序失败。
bool TopoSort(Graph G){
InitStatck(S); //使用存放入度为0的顶点，也可使用队列，不一定要使用栈；
V v = find_indegree_equ_zero(G);
Push(S,v);
while(!IsEmpty(S)){ //O(V+E) ,V为遍历的顶点，E为每个顶点所需删除的边即需修改下一顶点的入度次数
Pop(S,temp_v);
print(temp_v)；count++; //输出该结点并计数；
reduce_nextv_indegree(temp_v,1);//下一节点
V v = find_indegree_equ_zero(G);
Push(S,v);
}
if(count < sum(G.V)) return false; //拓扑排序失败，图中存在回路；
else return true;//拓扑排序成功，该图为AOV网；
}
算法时间复杂度度为O(V+E);
工程问题中：
1）入度为0的顶点为，这个工程开始活动或继续活动，即该活动没有前驱活动或该活动的前驱活动已完成；
2）若活动线性有向排列，则拓扑排序唯一；例 1->2->3，拓扑排序123 注：活动线性有向排列 是 拓扑排序唯一 的充分不必要条件；
3）若一个有向图具有有序的拓扑排序序列，则它的邻接矩阵必定为三角矩阵；（按照拓扑排序的结果重新安排顶点的序号，生成的新的邻接矩阵为三角矩阵；）
一般的图，其邻接矩阵为三角矩阵**（充分不必要条件）**，则存在拓扑排序；反之不然；
4.关键路径（
求解AOE网问题，带权有向图，顶点表示事件，边表示活动；
解决问题：
1）完成整个项目工程至少需要多少时间（关键路径）？
2）为缩短完成工程的时间，应加快哪些活动(AOE中的边)? 或者说哪些活动是影响工程的关键？
）
完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的花费之和。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。
关键路径上的花费即完成该工程项目至少需要的时间，即整个项目的完成时间(时间最长)，即最早完成时间（书上说法）；
1.事件的最早发生时间(到达该事件至少需要多少时间，即到达该事件最久时间)
V源=0；
Ve(k)=Max{Ve(j)+w(Vj,Vk)} 注:计算Ve(k)按从前往后顺序计算
2.事件的最迟发生时间(最迟发生+与下一事件活动时间为下一事件的最早发生时间)
Vl(汇点)=Ve(汇点);
Vl(j)=Min{Vl(k)-w(Vj,Vk)} 注：计算Vl(j)按从后往前顺序计算
3.活动的最早开始时间
活动的起点表示的事件的最早发生时间e(i)=Ve(k);
4.活动的最迟开始时间
活动终点所表示的事件的最迟发生时间与该活动之差l(i)=Vl(j)-w(Vk,Vj),<Vk,Vj>表示活动ai;
5.活动完成的时间余量
d(i)=l(i)-e(i); 若一个活动的时间余量为0，则说明该活动ai为关键活动，不如期完成会影响整个工程的进度；
注：
1）构造关键路径需要拓扑排序
2）关键活动的最早开始时间与最晚开始时间相等
具体实例：
[外链图片转存失败(img-3v1S9xpY-1568732822125)(F:\Tim\1094201572\MobileFile\关键路径.jpg)]
关键路径（v1,v3,v4,v6) 关键路径上的活动有a2，a5,a7