【算法介紹】斜率優化

用圖像斜率可以將一些問題由O(n²)降到O(n)的算法。

下面結合一道經典題目介紹斜率優化

(洛谷鏈接)[HNOI2008]玩具裝箱

這是一道典型的斜率優化題目。題目不再贅述，直接說與斜率優化相關的部分。

設$f[i]$爲填裝前$i$個玩具需要的最小花費，$s[i]$爲前$i$個物品的總長度。那麼可以得到：
$f[i]=min_{j=0}^{i-1}\{ f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)^2 \}$
如果直接算的話複雜度爲O(n²)，會超時的，所以需要優化。

我們將這個式子進行整理和移項：
$f[i]=f[j]+[(s[i]+i)-(s[j]+j+1+L)]^2$
$f[i]=f[j]+(s[j]+j+1+L)^2+(s[i]+i)^2-2(s[i]+i)(s[j]+j+1+L)$
$2(s[i]+i)(s[j]+j+1+L)+f[i]-(s[i]+i)^2=f[j]+(s[j]+j+1+L)^2$
爲了方便觀察，我們令$a=s[i]+i,b=s[j]+j+1+L$
現在這個式子變爲
$2ab+f[i]-a^2=f[j]+b^2$
其中$a$只與$i$有關，$b$只與$j$有關。
由於我們求的是$f[i]$，而$j$的相關信息是之前已經知道的，若把$f[j]+b^2$看做$y$，把$b$看做$x$，我們便得到下面這個直線方程：
$y=2ax+f[i]-a^2$
這樣，$j$的信息就被表示成了點。也就是說，我們要從當前$i$個左右的點中找到一個點，使得$f[i]$最小，這個點就是$j$點。

（圖：綠線是邊界，黃線是目標直線，其斜率爲$2a$）

這個方程的斜率是$2a(2a>0)$，$f[i]$最小時也就是這條直線在$y$軸上的截距最小時，（和高中學過的線性規劃類似）我們把一條斜率$2a$的直線從最下面開始慢慢向上平移，這條直線第一個碰到的點就是$j$點。

顯然，可能是$j$點的點都在邊界上。又因爲$2a$是隨着i增長的，於是我們可以用單調隊列求$f[i]$：
(用slope($i$,$j$)表示兩個點的斜率)

1.對head: while(slope(head,head+1)<2a) head++;
2.求出$f[i]$:f[i]=y+a^2-2ax
3.對tail: while(slope(tail-1,tail)>slope(tail-1,i)) tail--;
4.$i$點入隊

對於第1步，理由是$2a$是遞增的，此時斜率小於$2a$的兩點的前一點一定不會是$j$。
對於第3步，理由是若slope(tail-1,tail)>slope(tail-1,$i$)，那麼tail點會被tail-1和$i$點包圍，這樣tail就不再可能是$j$。

編程具體細節還會有需要注意的地方，但由於跟算法無關，在此就不說明了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

#define a(i) (s[i]+i)
#define b(i) (s[i]+i+L+1)
#define x(i) b(i)
#define y(i) (f[i]+b(i)*b(i))
#define slope(i,j) (y(j)-y(i))*1.0/(x(j)-x(i))

const int N=5e4+10;
int n, L;
LL s[N], f[N];

int q[N], head, tail;

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &L);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		scanf("%lld", s+i);
		s[i]+=s[i-1];
	}
	
	//
	head=tail=0;
	q[tail++]=0;
	
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		while(head+1<tail&&slope(q[head],q[head+1])<2*a(i)) head++;
		f[i]=y(q[head])+a(i)*a(i)-2*a(i)*b(q[head]);
		while(head+1<tail && slope(q[tail-2],q[tail-1])>slope(q[tail-2],i)) tail--;
		q[tail++]=i;
	}
	
	//
	printf("%lld\n", f[n]);
	return 0;
}

改進與注意
1. 對 slope(i,j)>slope(u,v)的改進：
$(y_i-y_j)(x_u-x_v)>(y_u-y_v)(x_i-x_j)$
2. tail-- 部分及 head++ 部分可用二分查找優化。
3. 注意 1. 中的 (x_u-x_v)>0 和 (x_i-x_j)>0