問題：若n 個非負數之和爲1，即∑xi=1 ，求證：∑x3i(1−xi)≤18
引理1：若∑xi=1 ，當n≥3 時，必有兩數之和小於34 (｡･∀･)ﾉ
證明唄：顯然xi+xj 這樣的數對有C2n 組，然後：
∑xi+xj=(x1+x2)+(x1+x3)+...=(n−1)⋅∑xi=n−1
由於
xi+xj 這樣的數對有
C2n 組，其平均值爲
n−1C2n=2n ，於是必有兩數之和小於
2n≤23<34.
沒毛病？
引理2：若兩個正數x,y ，滿足x+y<34 ，那麼有
(x+y)3−(x+y)4>[x3−x4]+[y3−y4]
證明：展開之唄
⇔4x3y+6x2y2+4xy3−3x2y−3xy2<0⇔3(x+y)−(4x2+6xy+4y2)>0⇐3(x+y)−(4x2+8xy+4y2)>0⇔3(x+y)−4(x+y)2>0⇔(x+y)<34
ok證畢
引理3：n=2 時原問題成立
證明：一波導數過去肯定可以的，沒毛病
回到原問題：
設f(x1,x2,...,xn)=∑x3i(1−xi) ，不妨設x1≥x2≥...,≥xn ，顯然由引理1，xn+xn−1<0.75 ，於是立馬用引理2有
f(x1,x2,...,xn)≤f(x1,x2,...,(xn−1+xn),0)
令
x1,x2,...,(xn−1+xn) 從大到小重排得到
x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0 ，顯然其和依舊保持爲1不變，那上式改寫爲：
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0)
由於和保持1不變，所以由引理1，知道只要
n≥3 那麼上述算法便可以繼續重複操作下去，直到
n=2 ，即有
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n−1,0)≤...≤f(x(n−2)1,x(n−2)2,0,...,0)
由引理3有
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(n−2)1,x(n−2)2,0,...,0)≤18
等號在
(0.5,0.5,0...,0) 處取得
